Temps local et diffusion en environnement aléatoire

par Roland Diel

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Romain Abraham.

Le président du jury était Dominique Lepingle.

Le jury était composé de Romain Abraham, Dominique Lepingle, Pierre Andreoletti, Nathanael Enriquez, Francis Comets, Yueyun Hu.


  • Résumé

    On appelle diffusion en milieu aléatoire la solution de l’équation différentielle stochastique suivante : dX(t) = dB(t) − 1/2 W’(X(t))dt où B est un mouvement brownien standard et W, le milieu, est un processus càd-làg qui n’est pas nécessairement dérivable (l’EDS précédente n’a alors qu’un sens formel). Schumacher [69] et Brox [17] ont montré que dans le cas où W est un mouvement brownien, la diffusion X a un comportement sous-diffusif et se localise au voisinage de certains points du milieu. Cette thèse est principalement consacrée à l’étude du comportement asymptotique du processus des temps locaux de X. Ce processus LX(t, x) représente le temps passé par X au point x avant le temps t. C’est donc un outil bien adapté pour étudier la localisation de la diffusion. On décrit ici la loi limite du temps local lorsque le milieu est un mouvement brownien standard ou plus généralement un processus de Lévy stable. On s’intéresse également au temps passé par la diffusion au voisinage des points les plus visités et au comportement asymptotique presque sûr du maximum du temps local. Dans la dernière partie de la thèse, on utilise le temps local d’une version discrète du modèle, pour obtenir des informations sur le milieu. Le but étant d’appliquer ce modèle au séquençage de l’ADN.

  • Titre traduit

    Local time and diffusion in random environment


  • Résumé

    A diffusion in random environment is the solution of the following stochastic differential equation: dX(t) = dB(t) − 1/2 W’(X(t))dt where B is a standard Brownian motion and W a càd-làg process which is not necessarily differentiable (the previous SDE has then only a formal sense). Schumacher [69] and Brox [17] have shown that the diffusion X has a sub-diffusive behavior when W is also a standard Brownian motion. Moreover they point out a localization phenomena for X. This thesis is principally devoted to the description of the asymptotic behavior of the local time process of X. The local time LX(t, x) represents the time spent by X before t at point x. This is thereby a useful tool to study the localization of the diffusion. Here is described the limit law of the local time when the environment is a Brownian motion or more generally a stable Lévy process. We are also interested in the time spent by X in the neighborhood of the most visited points and in the almost sure asymptotic behavior of the maximum of the local time. In the last chapter of the thesis the notion of local time is used in a discrete version of the model to obtain informations on the environment. The goal is to apply this model to DNA sequencing.


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