Singularités à l'infini et intégration motivique

par Michel Raibaut

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Michel Merle.

Soutenue en 2010

à Nice .


  • Résumé

    Dans cette thèse nous étudions le comportement à l’infini d’une fonction régulière sur une variété algébrique complexe lisse, en utilisant les techniques d’intégration motivique. A une variété algébrique complexe lisse U et une fonction régulière non constante f définie sur U, on associe son ensemble de bifurcation, défini comme l’ensemble minimal en dehors duquel f est une fibration topologique localement triviale. Cet ensemble fini contient les valeurs critiques de f, mais peut contenir d’autres valeurs, les valeurs atypiques, dues aux singularités à l’infini de f. Nous définissions tout d’abord la fibre de Milnor motivique à l��infini de f. Elle appartient à un anneau de Grothendieck des variétés. Elle est définie en termes d’une compactification choisie, non nécessairement lisse, mais est indépendante de ce choix. En utilisant le morphisme de réalisation de Hodge, Elle se réalise en le spectre infini de f. Nous calculons par exemple dans le cas d’un polynôme de Laurent non dégénéré pour son polyèdre de Newton à l’infini. A toute valeur a, nous associons ensuite un e fibre de Milnor motivique complète. C’est une extension de la fibre de Milnor motivique usuelle de f en a. Nous introduisons alors des valeurs atypiques, un ensemble de bifurcation motivique et une notion de fonction motiviquement modérée.

  • Titre traduit

    Singularities at infinity and motivic integration


  • Résumé

    In this thesis we study the behaviour at infinity of a regular function on a smooth algebraic complex variety, using techniques from motivic integration. To a smooth algebraic complex variety U and a (non-constant) regular function f, defined on U, one associate its bifurcation set B, defined as the minimal set such that out of it f is a locally trivial topological fibration. This finite set contains the critical values of f, but can contain other values, the atypical values, due to so-called “singularities at infinity” of f. We define the motivic Milnor fibre at infinity of f. It belongs to a Grothendieck ring of varieties. It’s defined in terms of a chosen compactification not necessarily smooth, but is shown to be independent of this choice. Using the Hodge realization morphism it realises to the spectrum at infinity of f. For instance, we compute it in the case of a Laurent polynomial non-degenerated with respect to its Newton polyhedron at infinity. For each value a, we define a complete motivic Milnor fibre. It’s an extension of the usual motivic Milnor fibre of f on a. Then, we introduce motivic atypical values, a motivic bifurcation set and a notion of motivically tame function.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (ii-120 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. [115]-120. Résumé en français

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  • Bibliothèque : Université Nice Sophia Antipolis. Service commun de la documentation. Section Sciences.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : 10NICE4100
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