Équations hessiennes complexes sur des variétés kählériennes compactes

Complex Hessian equations on some compact Kähler manifolds

• Auteur / Autrice : Asma Jbilou
• Direction : Philippe Delanoë
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles elliptiques

Variétés kählériennes

Valeurs propres

Fonctions symétriques

Mots clés libres

Equations hessiennes

Estimation a priori

Méthode de continuité

Résumé

Sur une variété kählérienne compacte connexe de dimension 2m, ! étant la forme de Kähler, ­ une forme volume donnée dans [!]m et k un entier 1 < k < m, on cherche à résoudre de façon unique dans [!] l’équation ˜!k ^!m−k = ­ en utilisant une notion de k-positivité pour ˜! 2 [!] (les cas extrêmes sont résolus : k = m par Yau, k = 1 trivialement). Nous résolvons par la méthode de continuité l’équation hessienne d’ordre k complexe elliptique correspondante sous l’hypothèse que la variété est à courbure bisectionelle holomorphe non-négative, ici requise seulement pour établir un pincement a priori de valeurs propres.

On a compact connected 2m-dimensional Kähler manifold with Kähler form !, given a volume form ­ 2 [!]m and an integer 1 < k < m, we want to solve uniquely in [!] the equation ˜!k ^!m−k = ­, relying on the notion of k-positivity for ˜! 2 [!] (the extreme cases are solved : k = m by Yau, k = 1 trivially). We solve by the continuity method the corresponding complex elliptic k-th Hessian equation under the assumption that the holomorphicbisectionalcurvatureofthemanifoldisnon-negative,requiredhereonlyto deriveanapriorieigenvaluespinching.