Analyse haute fréquence de l'équation de Helmholtz dissipative

par Julien Royer

Thèse de doctorat en Mathématiques et applications

Sous la direction de Xue-Ping Wang.

Soutenue en 2010

à Nantes , en partenariat avec Université de Nantes. Faculté des sciences et des techniques (autre partenaire) .


  • Résumé

    Le but de cette thèse est d'étudier sur Rn la limite haute fréquence de l'équation de Helmholtz. La particularité de ce travail est que l'indice d'absorption V2 n'est pas supposé constant, ce qui nous oblige à travailler avec un opérateur de Schrödinger qui n'est pas autoadjoint. On cherche dans une première partie des estimations en O(h-1) pour la résolvante (Hh - z)-1, uniformes pour Re z E > 0 et Im z > 0. Pour traiter le cas ou V2 est positif, on adapte la méthode de Mourre au cas d'opérateurs dissipatifs abstraits. On l'applique ensuite à l'opérateur de Schrödinger sous une hypothèse d'amortissement sur les trajectoires classiques captées, plus faible que l'hypothèse usuelle de non-capture. Enfin, par une méthode utilisant des mesures semi-classiques, on généralise encore ce résultat au cas où V2 admet une partie négative à support compact, sous la condition que l'amortissement reste suffisamment fort sur les trajectoires captées. On s'intéresse ensuite aux mesures semi-classiques de la solution sortante uh dans le cas où le terme source Sh se concentre sur une sous-variété bornée I' de l'espace Rn. Outre le caractère non-autoadjoint de l'opérateur Hh, les principales difficultés par rapport aux travaux existants sont dues à la géométrie de I' et aux trajectoires captées. On introduit pour ce dernier point des mesures semi-classiques tronquées (en remplaçant la résolvante par l'intégrale sur des temps finis du propagateur) que l'on fait ensuite converger

  • Titre traduit

    High frequency analysis of the dissipative Helmholtz equation


  • Résumé

    The purpose of this thesis is to study the high frequency limit (h -> 0) of the Helmholtz equation (Hh - E)uh = Sh where Hh = -h2 V1(x) - ihV2(x). The main interest of this work is that the absorption index V2 is not assumed to be constant, and hence the Schrödinger operator we consider is not self-adjoint. In the first part, we give some estimates of size O(h-1) for the resolvent (Hh - z)-1, uniform in Re z E > 0 and Im z > 0. To deal with the case V2 > 0, we adapt Mourre's method for a family of abstract dissipative operators. Then we apply this result to the Schrödinger operator under an assumption about the damping factor on bounded classical trajectories, weaker than the usual non-trapping condition. Finally, by a method using semi-classical measures, we further generalize this result for an absorption index which has a compactly supported negative part. This is possible if the damping factor remains strong enough on trapped trajectories. In the second part we study the semiclassical measures for the solution uh when the source term Sh concentrates on a bounded submanifold I'of Rn. In addition to the non-selfadjointness of the operator Hh, the main new difficulties come from the geometry of and trapped trajectories. For the latter we introduce some partial semi-classical measures, considering the integral of the propagator over finite times instead of the resolvent. Then we take the limit for large times

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Informations

  • Détails : 1 vol. (217 f.)
  • Annexes : Bibliogr. f. 213-217

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  • Disponible pour le PEB
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