Structures géométriques liées aux algèbres de Lie graduées

par Julien Chenal

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Wolfgang Bertram.

Soutenue le 21-06-2010

à Nancy 1 , dans le cadre de IAEM Lorraine , en partenariat avec IECN (laboratoire) .

Le président du jury était Hubert Rubenthaler.

Le jury était composé de Hubert Rubenthaler, Erhard Neher, Wolgang Bertram, Olivier Matieu, Jean-Louis Clerc.

Les rapporteurs étaient Olivier Mathieu, Erhard Neher.


  • Résumé

    Le but de cette thèse est de définir un objet géométrique associé aux algèbres de Lie (2k+1)-graduées. Dans le cas d'une algèbre de Lie $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, l'objet géométrique associé est un espace symétrique G/H et l'objet infinitésimal associé est un système triple de Lie. Dans le cas où notre algèbre de Lie est 3-graduée, alors l'objet géométrique associé est une géométrie projective généralisée et l'objet infinitésimal correspondant est une paire de Jordan. Dans le cas général, nous appellerons cet objet géométrique une géométrie de drapeaux généralisée. La construction de cet objet est basée sur la notion de groupe projectif élémentaire et de complétion projective introduite par O. Loos et reprise par J.R. Faulkner. Ensuite, en utilisant la notion de filtration d'une algèbre de Lie, on arrive à réaliser la géométrie de drapeaux généralisée comme orbites sous le groupe projectif élémentaire de deux filtrations canoniques, associées à la graduation de l'algèbre de Lie. Dans le cas particulier de l'agèbre de Lie $\mathfrak{g}=End_R(V)$, des endomorphismes d'un module $V$ sur une algèbre associative $R$, alors la géométrie de drapeaux généralisée se réalise comme orbites de drapeaux de $V$; ce qui justifie le nom choisi de "géométrie de drapeaux généralisée". Enfin, dans un dernier temps, en utilisant un calcul différentiel généralisé, on peut construire sur la géométrie de drapeaux généralisée une structure de variété différentiable.

  • Titre traduit

    Geometric Structures Linked With Graded Lie Algebras


  • Résumé

    The goal of this thesis is to define a geometric objet associated to graded Lie algebras. In the case of a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ graded Lie algebra, this object is a symmetric space G/H and the infinitesimal object associated is a Lie triple system. If the Lie algebra is 3-graded, the geometry is called a generalized projective geometry and the infinitesimal object is a Jordan pair. In the general case, the geometric object will be called a generalized flag geometry. Its contruction needs the notions of elementary projective group and projective completion, definied by O. Loos and used by J. R. Faulkner. Then, by the notion of filtrations of a Lie algebras, a realization of the generalized flag geometry of a graded Lie algebra can be done as orbits under the elementary projective group of two natural filtrations, associated to the graduation. In the example $\mathfrak{g}=End_R(V)$, consisting of the endomorphisms of a module $V$ on a assocative algebra $R$, then the generalized flag geometry is realized like orbits of flags of $V$; so, it justifies the chosen name: "generalized flag geometry". To finish, using a generalized differential calculus, we can construct on this generalized flag geometry a structure of smooth manifold


Il est disponible au sein de la bibliothèque de l'établissement de soutenance.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe

Où se trouve cette thèse ?

Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.