Méthode asymptotique numérique et techniques de réduction de modèles pour les vibrations non linéaires de plaques minces amorties

par Faiza Boumediene

Thèse de doctorat en Sciences pour l'ingénieur

Sous la direction de Jean-Marc Cadou.

Soutenue en 2010

à Lorient .


  • Résumé

    Les travaux présentés dans ce manuscrit concernent l’étude de vibration des structures minces amorties et plus particulièrement des vibrations de plaques minces. Ce type de structure a un comportement non linéaire géométrique: la fréquence de vibration des oscillations libres dépend de l'amplitude. Pour cette étude, nous avons adopté la théorie de von Kármán et considéré un amortissement de type Rayleigh. Les plaques soumises à des excitations harmoniques peuvent aussi montrer des réponses beaucoup plus complexes que multi-harmoniques (régime chaotique, turbulence d'ondes). La méthode de la balance harmonique est utilisée pour transformer le problème dépendant du temps en un problème non linéaire algébrique (dépendant seulement de la pulsation). La résolution de ce problème non linéaire est réalisée en utilisant la Méthode Asymptotique Numérique (MAN). Cette méthode permet de transformer le problème non linéaire initial en un ensemble de problèmes linéaires. Cette méthode nous a permis de trouver une grande partie de la courbe solution avec seulement quelques inversions de matrices. L’augmentation du nombre d’harmoniques dans la réponse accroît la dimension du problème, ce qui conduit par conséquent à une augmentation des temps de calcul. Pour remédier à cette difficulté, nous avons utilisé des techniques de réduction de modèle. Ces méthodes consistent à projeter le système à résoudre sur une base de dimension réduite et obtenir ainsi des problèmes de petite dimension (ou du moins négligeable par rapport à la dimension initiale du problème à résoudre). Trois procédures de réduction sont étudiées dans ce travail: la première est définie par la projection de notre système sur une matrice construite à partir des vecteurs propres du problème de vibrations linéaires; la deuxième matrice est construite à partir des résultats issus d’un premier pas MAN réalisé sans réduction et la troisième matrice est construite à partir d’un calcul préliminaire effectué avec un nombre réduit d’harmoniques. Pour cette dernière, les vecteurs à mettre dans la base sont sélectionnés en utilisant la méthode orthogonale aux valeurs propres (POD). Les trois procédures donnent des résultats dont la qualité est comparable à celle trouvée par un calcul complet sans réduction. En terme de temps de calcul, la deuxième procédure est la meilleure si la base est construite à partir d’un premier pas MAN réalisé sur un problème incluant un petit nombre d’harmoniques

  • Titre traduit

    Asymptotic numerical and model reduction methods for nonlinear vibration of damped thin plate


  • Résumé

    The work presented in this manuscript relates to the study of damped vibration of thin structures and more particularly of vibration of thin damped plates. This type of structure has a geometrical nonlinear behavior: the displacement amplitude varies with frequency. For this study, theory of von Kármán and Rayleigh damping are considered. The plates are subjected to harmonic excitations which induces a multi-harmonic response. The harmonic balance method is used to transform the time-dependent problem into a nonlinear static problem (depending only on frequency). Solving this nonlinear problem is performed using the Asymptotic Numerical Method (ANM). This method transforms the original nonlinear problem into a set of linear ones. It allows us finding a large part of the solution curve with only a few matrix inversions. The increase of harmonics number, in the response definition, increases the size of the problem which consequently leads to increase the computational time. To overcome this difficulty, model reduction techniques are used. These methods project the system to be solved on a reduced size and thus obtain small problems (or at least negligible compared to the initial problem size). Three reduction procedures are studied in this work. The first one consists in projecting of the governing system on a matrix constructed from the linear eigenvectors. The second matrix is constructed from the first step results which are made without reduction. Finally, the third matrix is constructed from a preliminary calculation with a reduced number of harmonics. For the latter, the base vectors are selected using the proper orthogonal method (POD). All three procedures yield results whose quality is comparable to that found by a complete calculation without reduction. In terms of computing time, the second procedure is the best if the step to build the base is made including a small number of harmonics

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Informations

  • Détails : 1 vol. (184 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p.150-163

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