Aspects of protomodularity : semidirect products, centralizers and Schreier-Mac Lane extension theorem

par Andrea Montoli

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Dominique Bourn et de Sandra Mantovani.


  • Résumé

    Le cadre protomodulaire permet une définition intrinsèque, dans une catégorie donnée, de la notion de produit semi-direct, de suite exacte et de commutateur. Les catégories des groupes (groupes abéliens), des anneaux, des algèbres (associatives, commutatives, de Lie etc. ) sont protomodulaires. Le travail de A. Montoli comprend essentiellement 3 parties : 1) la notion de produit semi-direct est caractérisée et simplifiée lorsque la catégorie de base admet un objet initial ; des applications sont données dans le cadre des groupoides internes. 2) la notion de catégorie « action-accessible » (i. E. Pointée, protomodulaire + axiomes) permet de caractériser les centralisateurs ; tous les exemples précédents sont des catégories action-accessibles. Dans la seconde partie de son travail, A. Montoli montre que toutes les catégories « of interest » (introduites par Orzech pour généraliser les résultats de Barr sur la théorie de l’obstruction dans le cadre des algèbres commutatives) sont action-accessibles. Cela permet en particulier d’inclure les algèbres de Poisson et un certain nombre des notions d’algèbre récemment introduites par Loday : les algèbres de Leibniz, les dialgèbres et les trialgèbres associatives. Les algèbres de Jordan ne sont pas action-accessibles. 3) dans le cadre plus restreint des catégories action-représentatives, j’avais montré qu’on pouvait généraliser le théorème de classification des suites exactes qui existent dans la catégorie des groupes (Schreier-Mac Lane). Dans la troisième partie de sa thèse, A. Montoli montre que ce théorème de classification est encore valable pour les catégories action-accessibles.


  • Résumé

    In this thesis, it is shown that the category of internal groupoids, with fixed object of objects, in a finitely complete category, has semidirect products in the sense of D. Bourn and G. Janelidze. Moreover, using the notions of pretorsor and of direction of an extension with Abelian Kernel, a generalization of Schreier-Mac Lane extension theorem for action accessible categories is obtained : on the set of extensions of K by Y with fixed abstract Kernel f, in an action accessible category, there is a simply transitive action of the abelian group of extensions of ZK by Y, with abstract Kernel induced by f. It is shown that this result applies, in particular, to any category or interest in the sense of G. Orzech.

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  • Détails : 1 vol. (121 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 117-121

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