Decidable characterizations for tree logics

par Thomas Place

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Luc Segoufin.

  • Titre traduit

    Caractérisation décidables de logiques sur les arbres


  • Résumé

    Dans cette thèse nous étudions le pouvoir d'expression de plusieurs logiques sur les arbres finis. En particulier, nous cherchons à obtenir une compréhension précise du pouvoir d'expression de la logique du premier ordre sur les arbres finis. Nous étudions un nombre important de logiques- pour cette raison nous procédons par comparaison avec une logique qui les contient et nous sert de référence: la logique monadique du second-ordre. Chaque logique que nous considérons est un fragment de la logique monadique du second ordre. MSO est liée à la théorie des langages formels. A chaque formule logique correspond un langage d'arbre: celui des arbres satisfaisant la formule. De plus, étant donné une logique nous pouvons lui associer une classe de langages d'arbres: la classe des langages définissables par une formule de cette logique. Dans le cadre des arbres finis, MSO correspond exactement à la classe des langages réguliers. Étant donné une logique, nous cherchons en fait à obtenir une caractérisation décidable de la classe de langages définissable par celle-ci. Par caractérisation décidable nous entendons un algorithme résolvant le problème suivant: pour un automate d'arbre finis, décider si le langage appartient à la classe en question. Nos caractérisations décidables sont en fait obtenue en exhibant pour chaque classe un ensemble de propriétés de clôture vérifiées par un langage si et seulement si celui-ci appartient à la classe en question. Nous montrons ensuite que chaque propriété de clôture est décidable. Énoncer et prouver de telles propriétés de clôture permet généralement d'obtenir une bonne compréhension du pouvoir de la logique correspondante. Le problème ouvert principal de ce domaine de recherche est l'obtention d'une caractérisation décidable pour la logique du premier ordre. Nous présentons des caractérisation décidables pour plusieurs fragment de FO. Nous commençons par la présentation de trois caractérisations décidable pour des classes de langages d'arbres de rang borné. La première classe que nous considérons est celle des langages définissables par la logique EF + F-1. Cette logique permet de naviguer dans l'arbre en se déplaçant soit vers un ancêtre, soit vers un descendant. La second classe est celle des arbres de rang borné définissables par la logique du premier ordre en n'utilisant qu'une seule alternance de quantificateurs. La dernière classe est celle des langages définissables par une combinaison booléenne de formules existentielles du premier ordre. Dans le cadre des forêts, nous étudions la classe des langages définissable par la logique du premier ordre à deux variables et deux prédicats correspondants respectivement à la relation ancêtre et la relation frère suivant. Nous présentons une caractérisation pour cette logique. La dernière classe pour laquelle nous présentons une caractérisation décidable est celle des langages localement testables (LT). UN langage est dans LT si l'appartenance d'un arbre à celui-ci ne dépends que des voisinages d'une certaine taille fixée dans l'arbre.


  • Résumé

    In this thesis we investigate the expressive power of several logics over finite trees. In particular we want to understand precisely the expressive power of first-order logic over finite trees. Because we study many logics, we proceed by comparison to a logic that subsumes them all and serves as a yardstick: monadic second-order logic. Each logic we consider is a fragment of monadic second-order logic. MSO is linked to the theory of formal languages. To each logical formula corresponds a tree language, which is the language of trees satisfying this formula. Furthermore, given a logic we can associate a class of tree languages: the class of languages definable by a formula of this logic. In the setting of finite trees MSO corresponds exactly to the class of regular tree languages. Given a logic, we actually look for a decidable characterization of the class of languages defined in this logic. By decidable characterization, we mean an algorithm for solving the following problem: given as input a finite tree automaton, decide if the recognized language belongs to the class in question. We will actually obtain our decidable characterizations by exhibiting for each class a set of closure properties such that a language is in the class under investigation if and only if it satisfies these closure properties. Each such closure property is then shown to be decidable. Stating and proving such closure properties usually yields a solid understanding of the expressive power of the corresponding logic. The main open problem in this research area is to obtain a decidable characterization for the class of tree languages that are definable in first-order logic. We provide decidable characterizations for several fragments of FO. First we provide three decidable characterizations for classes of regular languages of trees of bounded rank. The first class we consider is the class of languages definable in the temporal logic EF+F^-1. It essentially navigates the trees using two modalities for moving to a descendant node or an ancestor node. The second class we consider is the class of trees of bounded rank definable using one quantifier alternation. The last class, is the class of languages definable using a boolean combination of existential first order formulas. In the setting of forests, we investigate the class of languages definable in first-order logic using only two variables and two prediactes corresponding respectively to the ancestor and following sibling relations. We provide a characterization for this logic. The last class for which we provide a decidable characterization is the class of locally testable language (LT). A language L is in LT if membership in L depends only on the presence or absence of neighborhoods of a certain fixed size in the tree. We define notions of LT for both unranked trees and trees of bounded rank by adapting the definition of neighborhood to each setting. Then we provide a decidable characterization for both notions of LT.


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