Modélisation, analyse mathématique et numérique de divers écoulements compressibles ou incompressibles en couche mince

par Mehmet Ersoy

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Christian Bourdarias.

Soutenue en 2010

à l'Université Savoie Mont Blanc .


  • Résumé

    Dans la première partie, on dérive formellement; Pour traiter les points de transitions (i. E. Le changement de type d'écoulement surface libre vers charge et vice et versa), on étend la méthode des «ondes fantômes» dans ce contexte et on propose un traitement complètement cinétique. Dans la deuxième partie, on étudie des équations primitives compressibles simplifiées dans le cadre de la modélisation de la dynamique de l'atmosphère. En particulier, on obtient un résultat d'existence de solutions faibles globales en temps en dimension 2 d'espace. On établit également un résultat de stabilité de solutions faibles pour le modèle en dimension 3 d'espace. A cet égard, on introduit un changement de variables convenable qui permet de transformer les équations initiales en un modèle plus simple à étudier. Dans la troisième et dernière partie, on présente une courte introduction à la cavitation. En particulier, on rappelle les différents types de cavitation et les modèles mathématiques de Rayleigh-Plesset pour l'étude d'une bulle isolée et un modèle de mélange plus complexe. En vue de modéliser la cavitation dans les conduites fermées, on introduit un modèle à deux couches pour prendre en compte, dans un premier temps, l'effet d'une poche d'air comprimée par la surface libre et les bords de la conduite. En particulier, le système obtenu, à 4 équations, est généralement non hyperbolique et ses valeurs propres ne sont pas calculables explicitement. On propose alors une approximation numérique basée sur un schéma cinétique mono-couche. Dans le dernier chapitre, on dérive formellement un modèle de transport de sédiments basé sur l'équation de Vlasov couplée à des équations de Navier-Stokes compressibles avec un tenseur de viscosité anisotrope. Ce modèle est ensuite obtenu par le biais de deux analyses asymptotiques.

  • Titre traduit

    Modeling, mathematical and numerical analysis of various compressible or incompressible flows in thin layer


  • Résumé

    In the first part, we formally derive the PFS (Pressurised and Free Surface) equations for unsteady mixed flows in closed water pipes with variable geometry. We write the numerical approximation of these equations by a VFRoe and a kinetic solver by upwinding the sources terms at the cell interfaces. Particularly, we propose the upwinding of a friction term (given by the Manning-Strickler law) by introducing the notion of dynamic slope. Finally, we construct a well-balanced scheme preserving the still water steady states by defining a stationary matrix especially constructed for the VFRoe scheme. Following this idea, we construct a well-balanced scheme which preserve all steady states. To deal with transition points occurring when the state of the flow changes (i. E. Free surface to pressurised and conversely), we extend the «ghost waves» method and propose a full kinetic approach. In the second part, we study a simplified version of a compressible primitive equations for the dynamic of the atmosphere. We obtain an existence result for weak solutions global in time for the two-dimensional model. We also state a stability result for weak solutions for the three dimensional version. To this end, we introduce a useful change of variables which transform the initial model in a more simpler one. We present a small introduction to the cavitation phenomena. We recall the different kinds of cavitation and some mathematical models such as the Rayleigh-Plesset equation and a mixed model. As a first step toward the modeling of the cavitation in closed pipes, we propose a bilayer model which take into account the compressibility effect of the air onto the free surface. As pointed out by several authors, such a system, of equations, is non hyperbolic and generally, eigenvalues cannot be explicitly computed. We propose a numerical approximation by using a kinetic scheme. In the last chapter, we formally derive a sediments transport model based on the Vlasov equation coupled to an anisotropic compressible Navier-Stokes equations. This model is obtained by performing two asymptotic analysis.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (231 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p.223-229. Index

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