Factorisations et fonctions symétriques non commutatives

Noncommutative factorizations and symmetric functions

• Auteur / Autrice : Jonathan Delenclos
• Direction : André Leroy
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 28/06/2010
• Etablissement(s) : Artois
• Ecole(s) doctorale(s) : ED Sciences pour l'ingénieur (n°72)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Pierre Tignol
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ahmed Laghribi, Laurent Rigal
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jerzy Matczuk

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbres non commutatives

Fonctions symétriques

Factorisation

Mots clés libres

Polynômes de Wedderburn

Fonctions symétriques non commutatives

Transformations pseudo-linéaires

Extension de Ore

Résumé

Trois thèmes ont été poursuivis dans la thèse : -On introduit les fonctions symétriques non commutatives dans le cadre des extensions de Ore. On généralise les résultats obtenus par Gelfand, Retakh et Wilson. Notre méthode est en outre plus naturelle et évite l’utilisation des quasi déterminants. -On montre que les factorisations des polynômes de Wedderburn sont en bijection avec des drapeaux complets d’espaces vectoriels provenant de noyaux d’applications polynomiales en des transformations pseudo-linéaires. D’autres résultats, motivés par la théorie des codes, concernent la factorisation dans des anneaux de Ore construits sur des corps finis. On y montre, en particulier, comment se ramener au cas d’un anneau de polynômes classique. -On caractérise l’existence de P.P.C.M. à gauche de polynômes linéaires dans des extensions de Ore sur des anneaux quelconques. Dans ce cadre, une étude détaillée des transformations pseudo-linéaires s’est révélée, une fois encore, un outil indispensable.

Three themes have been pursued in the thesis : We introduce the noncommutative symmetric functions in the frame of Ore extensions. We generalize the results obtained by Gelfand, Retakh and Wilson. Moreover our method is more natural and avoid the use of quasideterminants. We show that the factorizations of Wedderburn polynomials are in bijection with complete flags of vector spaces coming from kernels of polynomial maps in pseudo-linear transformations. Other results, motivated by coding theory, concern the factorizations in Ore extension over finite fields. In particular, we show how to translate factorisations in these rings into factorisations in the usual polynomial rings. We characterize the existence of L.L.C.M of linear polynomials in Ore extensions over general rings. In this frame, a detailed study of pseudo-linear transformations was necessary.