Surfaces minimales dans des variétés homogènes

par Rami Younes

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de Ahmad El Soufi et de Martin Traizet.

Soutenue le 27-11-2009

à Tours , dans le cadre de Ecole doctorale Santé, sciences, technologies (Tours) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques et physique théorique (Tours) (équipe de recherche) .

Le président du jury était Harold Rosenberg.

Le jury était composé de Frank Pacard, Laurent Mazet, Laurent Veron.

Les rapporteurs étaient Eric Toubiana.


  • Résumé

    Le cadre de cette thèse est la théorie des surfaces minimales dans deux variétés homogènes, R3 et PSL2(R). Dans R3, étant donné un pavage T du plan par des polygones, qui soit invariant par deux translations indépendantes, on construit une famille de surfaces minimales plongées et triplement périodiques qui désingularise T × R. Dans cette perspective, et inspiré par le travail de Martin Traizet, nous ouvrons les nodes d’une surface de Riemann singulière dans le but de coller ensemble des Karcher saddle towers, chacune placée sur un sommet avec ses bouts au long des arrêtes qui se terminent sur ce sommet même. Dans une seconde partie, nous étudions les graphes minimaux dans PSL2(R) et nous fournissons des exemples de surfaces invariantes. Nous obtenons des estimées du gradient pour les solutions de l’équation des surfaces minimales dans l’espace en considération et on étudie le comportement des suites monotones de solutions. Nous concluons par prolonger à PSL2(R) un théorème de Jenkins et Serrin, qui donnent une condition nécessaire et suffisante pour la solvabilité du problème du Dirichlet de l’équation des surfaces minimales dans R3, avec des données infinies sur le bord d’un domaine convexe et borné.

  • Titre traduit

    Minimal surfaces in homogeneous spaces


  • Résumé

    This doctoral thesis deals with minimal surface theory in two homogeneous manifolds, namely, R3 and PSL2(R). In R3, given a tiling T of the plane by straight edge polygons, which is invariant by two independent translations, we construct a family of embedded triply periodic minimal surfaces which desingularizes T ×R. For this purpose, inspired by the work of Martin Traizet, we open the nodes of singular Riemann surfaces to glue together simply periodic Karcher saddle towers, each placed at a vertex of the tiling in such a way that its wings go along the corresponding edges of the tiling ending at that vertex. On the other hand, in PSL2(R) we study minimal graphs and we furnish many invariant examples. We derive gradient estimates for solutions of the minimal surface equation in the underlying space and we study convergence of monotone sequences of solutions. Finally, we extend to PSL2(R) a result of Jenkins and Serrin who provide a necessary and sufficient condition for the solvability of the Dirichlet problem of the minimal surface equation in R3, with infinite data over boundary arcs of a convex bounded region.


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