Géométrie de systèmes Hamiltoniens intégrables : le cas du système de Gelfand-Ceitlin

par Iman Alamiddine

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Tien Zung Nguyen.

Soutenue en 2009

à Toulouse 3 .


  • Résumé

    Le système de Gelfand-Ceitlin a été découvert par V. Guillemin et S. Sternberg en 1983. C'est un système bien connu en géométrie, mais ses singularités sont mal comprises. Le but de cette thèse est d'étudier la géométrie et la topologie des systèmes hamiltoniens intégrables et la relation avec la théorie de Lie et la géométrie symplectique et de Poisson. On s'intéresse au système de Gelfand-Ceitlin sur une orbite coadjointe générique du groupe SU(3). Pour une description géométrique de ce système, on a étudié la topologie de la variété ambiante. On calcule ses invariants (les groupes de cohomologie, d'homotopie). On étudie le proble��me de convexité en relation avec ce système. L'étude des singularités de ce système montre que toutes les singularités sont non dégénérées de type elliptique, sauf une dégénérée. On décrit soigneusement le comportement du système au voisinage de cette singularité, on donne un modèle simple pour la singularité dégénérée que l'on prouve grâce à un théorème qui établit un symplectomorphisme entre la singularité dégénérée et le modèle de flots géodésiques sur la sphère S3.

  • Titre traduit

    Geometry of integrable Hamiltonian systems : the case of Gelfand-Ceitlin system


  • Résumé

    The Gelfand-Ceitlin system has been discovered by V. Guillemin and S. Sternberg in 1983. It is a well known geometry, its singularities are yet poorly understood. The aim of this thesis is to study the geometry and topology of integrable Hamiltonian systems and the relationship between the theory of Lie and symplectic geometry and Poisson geometry. We study the Gelfand Ceitlin system on a generic coadjoint orbit of the group SU(3). To describe this system geometrically, we studied the topology of the ambient variety. We calculate its invariants (the cohomology groups, the homotopy groups). We study the problem of convexity in relation with this system. The singularities study of this system shows that all singularities are elliptic non-degenerate, except for only one. We describe carefully the behaviour of the system in the neighbourhood of this singularity, we give a simple model for degenerated singularity that we prove by a theorem which establishes a unique symplectomorphisme between the degenerate singularity and the model of geodesic flows on the sphere S3.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (99 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 95-99

Où se trouve cette thèse\u00a0?

  • Bibliothèque : Université Paul Sabatier. Bibliothèque universitaire de sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 2009TOU30073
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