Théorèmes de Petri pour les courbes stables et dégénérescence du système d'équations du plongement canonique

par Olivier Dodane

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Rutger Noot.

Soutenue en 2009

à Strasbourg .


  • Résumé

    Le théorème de Petri affirme que l'image canonique d'une courbe lisse non hyperelliptique de genre g>=4 définie sur un corps algébriquement clos est une intersection d'hypersurfaces quadriques et cubiques. De plus, on peut exhiber un système d'équations pour cette image; il s'agit ici de résultats de Petri (1923) transcrits dans le langage moderne par Saint-Donat (1973). On sait par ailleurs que l'espace des modules des courbes lisses n'est pas propre, son bord étant constitué des courbes stables. C'est pourquoi il est naturel de chercher des énoncés similaires valables pour les courbes stables et d'examiner la dégénérescence du système d'équations d'une courbe lisse vers une courbe stable. Dans cette thèse, on envisage d'une part le cas d'une courbe stable ayant un seul point double ordinaire et dont la normalisée est hyperelliptique, et d'autre part le cas d'une courbe stable dont le graphe est planaire. De plus, on entreprend l'étude du plongement canonique d'une courbe stable définie sur un anneau de valuation discrète. Quel que soit le contexte, la méthode employée pour aboutir à des théorèmes de Petri est la suivante: -- description du faisceau canonique et construction d'une base bien adaptée de l'espace de ses sections globales; -- construction de quadriques et cubiques dans l'idéal canonique; -- démonstration que ces éléments engendrent l'idéal canonique. Ce mémoire contient également de nouveaux éléments biographiques concernant le mathématicien allemand Karl Petri. [http://tel. Archives-ouvertes. Fr]

  • Titre traduit

    Petri type theorems for stable curves and degeneracy of the canonical embedding's system of equations


  • Résumé

    Petri's theorem states that the canonical image of a nonhyperelliptic smooth curve of genus g>=4 defined over an algebraically closed field is an intersection of quadrics and cubics. Moreover, one can exhibit a system of equations for this image. These results are due to Petri (1923) and were generalized and transcribed in modern language by Saint-Donat (1973). The moduli space of smooth curves is not proper and can be completed by adding stable curves. It is therefore natural to search for generalizations of Petri's theorem for stable curves and to examine questions of degeneracy. In this thesis, we consider on the one hand the case of a stable curve with one singular point and whose normalization is hyperelliptic, and on the other hand the case of a stable curve whose graph is planar. Moreover, we undertake the canonical embedding of a stable curve defined over a discrete valuation ring. The general method consists in: -- describing the canonical sheaf and constructing a well adapted basis for the space of its global sections; -- constructing quadrics and cubics in the canonical ideal; -- proving that these equations generate the canonical ideal. The text also contains new biographical indications concerning the german mathematician Karl Petri. [http://tel. Archives-ouvertes. Fr]

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Cette thèse a donné lieu à une publication en 2009 par Institut de recherche mathématique avancée à Strasbourg

Théorèmes de Petri pour les courbes stables et dégénérescence du système d'équations du plongement canonique


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La version de soutenance existe sous forme papier

Informations

  • Détails : 1 vol. (91 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 89-91

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  • Bibliothèque : Université de Strasbourg. Service commun de la documentation. Bibliothèque Danièle Huet-Weiller.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : Th.Strbg.Sc.2009;0115
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Cette thèse a donné lieu à une publication en 2009 par Institut de recherche mathématique avancée à Strasbourg

Informations

  • Sous le titre : Théorèmes de Petri pour les courbes stables et dégénérescence du système d'équations du plongement canonique
  • Détails : 1 vol. (89 p.)
  • Notes : No. des Prépublications de l'Institut de recherche mathématique avancée, ISSN 0755-3390, no. 2009/01, 2009.
  • Annexes : Bibliogr. p. 87-89
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