Sur quelques questions d'équidistribution en géométrie arithmétique

par Rodolphe Richard

Thèse de doctorat en Mathématiques et applications

Sous la direction de Antoine Chambert-Loir.

Soutenue en 2009

à Rennes 1 .


  • Résumé

    Nous démontrons un résultat d'équidistribution sur les courbes modulaires : les orbites galoisiennes d'invariants modulaires a l'intérieur d'une même classen d'isogénie non CM se répartissent le long de la mesure de Poincaré sur la courbe modulaire. Un corollaire est que la hauteur des points considérés diverge, retrouvant là un résultat de Szpiro et Ullmo. Pour obtenir cet énoncé nous combinons des propriétés galoisiennes (le théoreme de Serre sur l'action du groupe de Galois sur les points de division) et des propriétés ergodiques (le théorème de Ratner sur les ots unipotents dans les espaces de réseaux, ou plutôt l'équidistribution des points de Hecke). Nous généralisons notre méthode dans le cadre des variétés de Shimura. Dans ce cadre, en revanche, l'un de nos ingrédients repose sur une forme de la conjecture de Mumford-Tate. Cela nous amène à étudier, dans une seconde partie, des ranements de l'équidistribution des points de Hecke. Apparaissent alors certaines questions de divergence dans les espaces de réseaux. La méthode de linéarisation de Dani-Margulis ramène cette question à un énoncé géométrique. Nous apportons une réponse à cette question. Dans le cas réel, il s'agit d'une collaboration avec Nimish Shah. Dans le cas p-adique, nous sommes amenés à utiliser la géométrie ultramétrique récemment développée par Berkovich, en relation avec la théorie de Bruhat-Tits, et plus particulièrement des résultats recents de B. Remy, A. Thuillier et A. Werner. Nous sommes amenés en particulier à démontrer des propriétés de décomposition des immeubles inspirées des théorème de décomposition de Mostow sur les espaces symétriques ; des propriétés de convexité sur les immeubles de fonctions analytiques, au sens ultramétrique, sur le groupe associé. Nous illustrons enn comment nos résultats, en combinaison avec les travaux de D. Kleinbock et G. Tomanov, et le théorème de Ratner, s'appliquent à l'étude de problèmes S-arithmétiques dans les espaces de réseaux.

  • Titre traduit

    On some equidistribution questions in arithmetic geometry


  • Résumé

    We prove some equidistribution result on the modular curves: Galois orbits of modular invariants within a same non CM isogeny class distribute along the Poincaré measure on the modular curve. As a corollary, the height of the considered points diverges, recovering a result of Szpiro and Ullmo. To prove such a statement, we combine galois properties (Serre's theorem on the Galois action on division points) and ergodic properties (Ratner's theorem on unipotent ows, or rather the equidistribution of Hecke points). We generalise our method in the setup of Shimura varieties. But in the latter setup, on of our ingredients rely on some variant of Mumford-Tate conjecture. This brings us to study, in a second part, some renements of the equidistribution of Hecke points. Some issues of non-divergences in lattices spaces has then to be dealt with. Dani-Margulis linearization tecnhique reduces this to some geometric statement. We provide an answer to this question. In the real case, it is a collaboration with Nimish Shah. In the p-adic case, we are lead to use the ultrametric geometry recently developped by Berkovich, together with Bruhat-Tits theory, and more particularly the recent work of B. Remy, A. Thuillier et A. Werner. We precisely prove some decomposition properties in buildings inspired by Mostow decomposition theorem for symmetric spaces; some convexity properties, on buildings, for analytic functions, in the ultramétric sense, on the associated group. We nally illustrate how our results, in combination with D. Kleinbock and G. Tomanov work, and Ratner's theorem, applies to the study of some S-arithmetic problems in lattices spaces.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (XXII-130p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. en fin de parties

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université de Rennes I. Service commun de la documentation. Section sciences et philosophie.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TA RENNES 2009/71
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