Action du groupe sym?trique sur certaines fractions rationnelles ; suivi de Puissances paires du Vandermonde

par Adrien Boussicault

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Jean-Gabriel Luque.

Soutenue le 02-12-2009

à Paris Est , dans le cadre de ?cole doctorale Information, Communication, Mod?lisation et Simulation (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne) , en partenariat avec Laboratoire d'informatique de l'Institut Gaspard Monge (laboratoire) , Laboratoire d'informatique Gaspard-Monge (laboratoire) et de Laboratoire d'informatique Gaspard-Monge (laboratoire) .

Le jury était composé de Jean-Gabriel Luque, Fr?d?ric Chapoton, Daniel Barsky, Florent Hivert, Thierry Jolicoeur, Alain Lascoux, Jean-Yves Thibon, Jiang Zeng.

Les rapporteurs étaient Fr?d?ric Chapoton, Daniel Barsky.


  • Résumé

    L?objet de cette th?se concerne les propri?t?s du groupe sym?trique ? travers deux probl?mes. Le premier consiste ? ?tudier l?action du groupe sym?trique sur la fraction (...). En appliquant certaines op?rations sur les graphes et les cartes, nous donnons des algorithmes et des formules combinatoires pour d?terminer compl?tement la fraction r?duite suivante : (...). L?auteur C. Greene a introduit cette fraction rationnelle pour g?n?raliser des identit?s li?es a la r?gle de Murnaghan-Nakayama. Nous utilisons (...) pour ?tablir un nouvel algorithme de d?composition en ?l?ments simples ? l?aide des graphes. Dans la seconde partie, nous cherchons a d?velopper les puissances paires du Vandermonde au moyen de fonctions sym?triques. En particulier, nous proposons une ?criture hyperd?terminantale des coefficients du d?veloppement des puissances paires du Vandermonde dans la base des fonctions de Schur. Nous obtenons plusieurs identit?s reliant les puissances paires du Vandermonde et les polyn?mes de Jack. Puis nous introduisons une q-d?formation des puissances paires du Vandermonde que nous exprimons gr?ce aux polyn?mes de Macdonald

  • Titre traduit

    Action of the symmetric group on some rational fractions following by even powers of the Vandermonde


  • Résumé

    The main purpose of this document is the symmetric group. In particular, we study the two following problems. First, the symmetric group acts naturally on the rational function (?), by permuting the variables. With the help of some operations on the graphs, we give algorithms and combinatorial formulas allowing us to compute the reduced fraction (?). The author C. Greene has introduced these rational functions in the aim to generalize some identities related to the Murnaghan-Nakayama rules. We use these properties to give an original algorithm to perform partial decompositions of fractions with the help of graphs. In the second problem, we study the expansion of the even powers of the Vandermonde in several basis of symmetric functions. In this part, we give identities between symmetric functions and hyperdeterminants and we use them to obtain an hyperdeterminental expression of the coefficients in Schur?s basis. We investigate also the relation between the even powers of the Vandermonde and Jack?s functions. Finally, we introduce a q-deformation of the even powers of the Vandermonde and we relate it to some specialisations of Macdonald?s polynomials


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