Financial models and price formation : applications to sport betting

par Benoît Jottreau

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Marie-Claire Quenez.

Soutenue le 30-11-2009

à Paris Est , dans le cadre de Information, Communication, Modélisation et Simulation , en partenariat avec Laboratoire d'Analyse et Mathématiques Appliquées (LAMA) (laboratoire) .

Le jury était composé de Marie-Claire Quenez, Ruud Köning, Gilles Pagès, Monique Jeanblanc, Damien Lamberton, Bernard Lapeyre, Huyên Pham.

Les rapporteurs étaient Ruud Köning, Gilles Pagès.

  • Titre traduit

    Modèles financiers et formation des prix : applications aux paris sportifs


  • Résumé

    Cette thèse est composée de quatre chapitres. Le premier chapitre traite de l'évaluation de produits financiers dans un modèle comportant un saut pour l'actif risque. Ce saut représente la faillite de l'entreprise correspondante. On étudie alors l'évaluation des prix d'options par indifférence d'utilité dans un cadre d'utilité exponentielle. Par des techniques de programmation dynamique on montre que le prix d'un Bond est solution d'une équation différentielle et le prix d'options dépendantes de l'actif est solution d'une équation aux dérives partielles d'Hamilton-Jacobi-Bellman. Le saut dans la dynamique de l'actif risque induit des différences avec le modèle de Merton que nous tentons de quantifier. Le second chapitre traite d'un marché comportant des sauts : les paris sur le football. Nous rappelons les différentes familles de modèles pour un match de football et introduisons un modèle complet permettant d'évaluer les prix des différents produits apparus sur ce marché ces dix dernières années. La complexité de ce modèle nous amène à étudier un modèle simplifié dont nous étudions les implications et calculons les prix obtenus que l'on compare à la réalité. On remarque que la calibration implicite obtenue génère de très bons résultats en produisant des prix très proches de la réalité. Le troisième chapitre développe le problème de fixation des prix par un teneur de marche monopolistique dans le marché des paris binaires. Ce travail est un prolongement direct au problème introduit par Levitt [Lev04]. Nous généralisons en effet son travail aux cas des paris européens et proposons une méthode pour estimer la méthode de cotation utilisée par le book-maker. Nous montrons que deux hypothèses inextricables peuvent expliquer cette fixation des prix. D'une part, l'incertitude du public sur la vraie valeur ainsi que le caractère extrêmement risque-averse du bookmaker. Le quatrième chapitre prolonge quant à lui cette approche au cas de produits financiers non binaires. Nous examinons différents modèles d'offre et de demande et en déduisons, par des techniques de programmation dynamique, des équations aux dérivées partielles dictant la formation des prix d'achat et de vente. Nous montrons finalement que l'écart entre prix d'achat et prix de vente ne dépend pas de la position du teneur de marche dans l'actif considère. Cependant le prix moyen dépend lui fortement de la quantité détenue par le teneur de marche. Une approche simplifiée est finalement proposée dans le cas multidimensionnel


  • Résumé

    This thesis is composed of four chapters. The first one deals with the pricing of financial products in a single jump model for the risky asset. This jump represents the bankrupcy of the quoted firm. We study the pricing of derivatives in the context of indifference of utility with an exponential utility. By means of dynamic programming we show that the bond price is solution of an ordinary differential equation and that stock price dependent options are solutions of an equation with partial derivatives of Hamilton-Jacobi-Bellman type generalizing the Black-Scholes one. We then try to quantify differences in the price obtained here and the one from Merton model without jump. The second chapter deals with a specific jump market : the soccer betting market. We recall the different model families for a soccer match and introduce some full model which allows to price the products recently born in this market in last ten years. Nevertheless the model complexity leads us to study a simplified model introduced by Dixon and Robinson from which we are able to derive closed formulas and simulate prices that we compare to market prices. We remark that implicit calibration gives pretty goof fit of market data. Third chapter developps the approach of Levitt [Lev04] on price formation in binary betting market held by a monopolistic market-maker operating in a one time step trading. We generalize Levitt results with european format of betting. We show that prices are distorded on the pressure of demand and offer, that phenomena introducing a market probability that allows to price products under this new measure. We identify some best model for demand and offer and market maker strategy and show that probability change is obvious in case of imperfect information about the value of the product. Fourth chapter generalizes this approach to the case of general payoffs and continuous time. The task is more complex and we just derive partial derivative equations from dynamic programming that enable us to give the bid-ask prices of the product traded by the market-maker. One result is that, in most models, bid-ask spread does not depend on the inventory held by the dealer whereas mid-quote price strongly reflects the unbalance of the dealer

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