Théorie homotopique des schémas d'Atiyah et Hitchin

Homotopy theory of Atiyah and Hitchin schemes

• Auteur / Autrice : Christophe Cazanave
• Direction : Jean Lannes
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Paris 13

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces de lacets

Fractions continues

Homotopie

Résumé

Ce travail introduit la notion des chéma d’Atiyah et Hitchin. Une variété algébrique raisonnable Y étant fixée, il s’agit d’une famille de nouveaux schémas, indexée par un entier positif m. Nous étudions les propriétés homotopiques (au sens de Morel et Voevodsky) de ces «espaces». Les schémas des fractions rationnelles pointées de degré m sont un exemple fondateur et fondamental. Du point de vue topologique, les travaux de G. Segal et F. Cohen et al. Montrent que l’espace de fraction rationnelle approxime l’espace de lacets. Nous formulons une série précise de conjectures visant à généraliser ces résultats dans un cadre algébrique. L’idée est que le schéma approximerait l��espace de lacets motivique. Nous obtenons plusieurs résultats dans cette direction. En particulier: - Nous déterminons l’ensemble des composantes connexes algébriques naïves du schéma de fractions rationnelles, lorsque la base est un corps. Le calcul est simple et élémentaire. On retrouve, après une complétion en groupe, les classes d’homotopie d’endomorphismes pointés de la droite projective, telles que calculées par Morel. - Nous construisons un morphisme algébrique reliant RmY à ΩP1. - Lorsque Y est une variété algébrique complexe, nous explicitons le type d’homotopie de l’espace topologique (RmY )(C)comme un foncteur en Y (C). De plus, nous montrons qu'il admet un scindement stable dont les facteurs sont ceux du scindement de Snaith de l’espace.

This work introduces Atiyah-Hitchin schemes. These form a family, indexed by a positive integer m, of algebraic varieties attached to a fixed algebraic variety. We study motivichomotopy properties of these “spaces” in the sense of Morel and Voevodsky. The schemes Fm of pointed rational functions of degree m form a fundamental example. From the topological viewpoint, Segal and F. Cohen et al. Proved that the topological space Fm(C) approximates the loop space. We formulate a precise series of conjecture saiming to generalize these results to the algebraic framework. The slogan is that the scheme RmY should approximate the motivic loop space. We establish several results in this direction, among which: - First, we determine the monoid of algebraic naive connected components of the schemes of rational functions Fm, when the base is a field. The method is simple and elementary. After a group completion, were cover the motivichomotopy classes of endomorphisms of the projective line P1, as computed by Morel. - We construct an algebraic morphism relating RmY. - When the algebraic variety Y is defined over C, we give an explicit description of the homotopy type of the topological space (RmY ). Moreover, we show that the spaceb(RmY )(C) stablysplits with the same summands as in the Snaith splitting of.