Sur les propriétés spectrales d’opérateurs non auto-adjoints provenant de la mécanique des fluides

par Jérôme Martinet

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Bernard Helffer.


  • Résumé

    Cette thèse est consacrée a l’étude de plusieurs opérateurs différentiels non auto-adjoints, issus de problèmes posés en mécanique des fluides, dont l’étude a été commencé dans les travaux des physiciens V. N. Goncharov et L. Masse, et des mathématiciens C. Cherfils, O. Lafitte, P-A. Raviazt et B. Helffer, pour lesquels une étude spectrale classique semble difficile. Tout le travail qui suit montre comment les théorèmes et techniques usuels d’analyse semi-classique (construction explicite de quasi-modes, estimations elliptiques,. . . ), nous permettent de déterminer le comportement de ces opérateurs par le biais de l’étude de leur pseudo-spectre près de 0. Trois opérateurs, issus de l’étude d’instabilité en mécanique des fluides, attireront en particulier notre attention. Ils correspondent respectivement à l'instabilité dite de "Rayleigh-Taylor avec vitesse de convection", l'instabilité dite de "Rayleigh-Taylor selon Kull et Anisimov", l'instabilité dite de "Kelvin-Helmoltz". Nous mettrons ainsi en évidence, pour chacun de ces opérateurs, l’existence d’une courbe dite « d’instabilité maximale », séparant le plan en deux zones : une zone d'existence de quasi-modes correspondant à des valeurs propres très petites, une zone d'inversibilité de nos opérateurs. La courbe « d’instabilité maximale » et son voisinage attireront ensuite toute notre attention. Nous étudieront ainsi, grâce à des résultats du type de ceux obtenus par N. Dencker, J. Sjöstrand et M. Zworski, la zone de stabilité dans un voisinage dépendant du paramètre semi-classique. Finalement, nous contrôleront les normes des résolvantes des opérateurs, uniformément par rapport aux différents paramètres physiques intervenant dans leur définition. Ce contrôle nous permettra, entre autres, de déterminer l’influence des paramètres sur le pseudo-spectre de ces opérateurs.

  • Titre traduit

    On spectral properties of non self-adjoint operators from fluid mechanics


  • Pas de résumé disponible.


  • Résumé

    In this thesis, we study several non self-adjoint differential operators. They come from fluid mechanics problems, wich were first study by physicists like V. N. Goncharov and L. Masse, and mathematicians like C. Cherfils, O. Lafitte, P-A. Raviart et B. Helffer. A classical spectral method seems to be difficult for those operators. All our work is to show, how usual semi-classical therems and methods (quasi-modes construction, elliptique estimate,. . . ) are able to help us understand the operator behavior with the knowledge of their pseudo-spetrum in the neighbourhood of 0. We will focus on three operators, which come from the study of fluids mecanique instability. They correspond to « Rayleigh-Taylor instability with velocity convection », « Kull and Anisimov point of view for the Rayleigh-Taylor instability », « Kelvin-Helmoltz instability ». For each of those operators, we emphasise the existence of a « maximal instability » curve which separates the plane in two areas : the firs area corresponding to the existence of quasi-modes for very small eigenvalues, the second one, corresponding toan area were operators are inversibility. Then we study the « maximal instability » curve and his neighbourhood. Thanks to the same kind of result obtain by N. Dencker, J. Sjöstrand and M. Zworski, we will show the existence of a stability area, depending on the spectral parameter, in the neighbourhood of the curve. Finaly, we control resolvant norms, uniformly in respect to the different physical parameter appearing in their definition. This control allow us to prove the parameter influence on the pseudo-spectrum of our operators.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (194 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 191-194

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 0g ORSAY(2009)271
  • Bibliothèque : Bibliothèque Mathématique Jacques Hadamard (Orsay, Essonne).
  • Disponible sous forme de reproduction pour le PEB
  • Cote : MART
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