Algèbres de Lie de dimension infinie et théorie de la descente

par Wilhelm Alexander Steinmetz

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Philippe Gille.

Soutenue en 2009

à Paris 11 , en partenariat avec Université de Paris-Sud. Faculté des Sciences d'Orsay (Essonne) (autre partenaire) .


  • Résumé

    Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique zéro et soit R l’anneau des polynômes de Laurent à deux variables sur k. La motivation principale de ce travail est l’étude d’une classe d’algèbres de Lie de dimension infinie sur k, appelées extended affine Lie algebras (EALAs). Ces algèbres correspondent à des torseurs sous des groupes algébriques linéaires sur R. On établit dans ce travail une classification de R–torseurs sous des groupes de type classique de rang assez grand (sous une hypothèse plus forte pour les groupes de type A intérieur) et on obtient ainsi des résultats sur les EALAs mentionnées ci-dessus. On obtient également une variante de la conjecture de Serre II pour l’anneau R : tout torseur lisse sur R sous un groupe semi-simple simplement connexe de type classique B, C ou D de rang assez grand est trivial. La stratégie pour démontrer les résultats principaux est la suivante : les torseurs sous les groupes classiques correspondent à des algèbres d’Azumaya à involutions et à des formes hermitiennes et quadratiques. On calcule les groupes de Witt et les K-groupes correspondants à l’aide de suites spectrales dues à Panin, Suslin et S. Gille. Ensuite on utilise des résultats de simplification pour obtenir une classification des formes hermitiennes et anti-hermitiennes de rang assez grand sur R et ainsi une classification de certains torseurs sur R.

  • Titre traduit

    Infinite Dimensional Lie Algebras and Descent Theory


  • Résumé

    Let k be an algebraically closed field of characteristic zero and let R be the Laurent polynomial ring in two variables over k. The main motivation behind this work is a class of infinite dimensional Lie algebras over k, called extended affine Lie algebras (EALAs). These algebras correspond to torsors under linear algebraic groups over R. In this work we classify R–torsors under classical groups of large enough rank (and under stronger hypotheses for groups of interior type A) and obtain this way results on the above mentioned EALAs. We also obtain a variant of Serre’s Conjecture II for the ring R: every smooth R–torsor under a semi-simple simply connected R–group of large enough rank of classical type B, C or D is trivial. We use the following strategy to prove our main results: torsors under classical groups correspond to Azumaya algebras with involution and to hermitian and quadratic forms. We calculate the corresponding Witt and K-groups using spectral sequences due to Panin, Suslin and S. Gille. Finally we use simplification results to obtain a classification of hermitian and skew-hermitian forms of large enough rank over R and thus a classification of certain R–torsors.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (102 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 99-102

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  • Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 0g ORSAY(2009)168
  • Bibliothèque : Bibliothèque Mathématique Jacques Hadamard (Orsay, Essonne).
  • Disponible sous forme de reproduction pour le PEB
  • Cote : STEI
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