Identifiabilité de paramètres pour des systèmes décrits par des équations aux dérivées partielles : Application à la dynamique des populations

par Antoine Perasso

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Yacine Chitour et de Béatrice Laroche.


  • Résumé

    L’objectif de cette thèse est d’effectuer une étude d’identifiabilité d’un modèle épidémiologique décrit par un système d’équations aux dérivés partielles (EDP) intégro-différentiel semi-linéaire de type réaction-transport. Dans ce but, nous effectuons tout d’abord de la littérature relative aux problèmes inverses d’identifiabilité paramétrique. Nous étudions les fondements mathématiques des différentes techniques employées en mettant en avant les natures des systèmes auxquels ces méthodes s’appliquent ou se généralisent. En dimension finie, trois méthodes se dégagent pour les systèmes d’équations différentielles ordinaires : par le développement en série de Taylor, par élimination algébro-différentielles et par le biais du théorème de l’isomorphisme d’état. En dimension infinie, pour les systèmes d’EDP, deux méthodes sont couramment utilisées dans le cas linéaire : une approche spectrale et une autre reposant sur les inégalités de Carleman. Cette dernière est aussi appliquée à quelques systèmes d’EDP semi-linéaires, dans des cas particuliers où le problème d’identifiabilité peut se ramener à l’étude d’un système linéaire. Cependant, cette méthode n’est pas, ou alors difficilement, applicable à notre système du fait de la complexité de sa non-linéarité. Dans un deuxième temps, nous effectuons l’analyse d’identifiabilité du modèle épidémiologique. Nous commençons par bâtir un cadre formel d’étude d’identifiabilité s’appliquant aux systèmes d’EDP semi-linéaires. Ce cadre nécessite la connaissance d’un espace de vie de la solution du problème d’EDP. En conséquence, nous déterminons un cadre fonctionnel respectant les conditions biologiques imposées par le modèle, puis nous prouvons l’existence et unicité de la solution. Nous effectuerons ensuite l’analyse d’identifiabilité du modèle en adaptant la méthode d’élimination algébro-différentielle. Nous obtenons des conditions suffisantes d’identifiabilité pour des classes de paramètres données. Nous discutons, interprétons et simulons numériquement les résultats obtenus.

  • Titre traduit

    Parameter identifiability for systems described by partial differential equations : application to poupulation dynamics


  • Résumé

    This thesis aims at studying the identifiability of an epidemiological model described bysemilinear integro-differential equations (PDE) of reaction-transport type. To achieve this goal, we wart with a literature survey of inverse problems devoted to parameter identifiability. We study the mathematical bases of the existing techniques, outlining the systems to which they are applied or could be extended. In finite dimension, the three main methods for systems of ordinary differential equations are based on : Taylor series expansion, algebro-differential elimination, and the state isomorphism theorem. In infinite dimension, for PDE systems, two methods are generally applied in the linear case : a spectral approach, and another based on Carleman estimates. The latter is also applied to some semilinear PDE systems in the particular situation in particular situations where the identifiability problem amounts to studying a linear system. However, this method cannot be, or can hardly be applied to our system owing to the complexity of its nonlinearity. We the perform the identifiability analysis of the epidemiological model. We first build a formal identifiability framework adapted to semilinear PDE systems. This framework requires that a solution space is defined for the PDE problem. Therefore, we determine a functional framework compatible with the biological conditions imposed by the model and prove the existence and uniqueness of the solution. Second, we perform the identifiabily analysis of the model by adapting the algebro-differential elimination method. We obtain sufficient identifiability conditions for given parameter classes. We finally discuss and interpret the results we obtain, and provide numericable simulations.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (165 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 161-165

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  • Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 0g ORSAY(2009)156
  • Bibliothèque : Bibliothèque Mathématique Jacques Hadamard (Orsay, Essonne).
  • Disponible sous forme de reproduction pour le PEB
  • Cote : PERA
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