Grandes déviations pour le flux maximal en percolation de premier passage

par Marie Théret

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Raphaël Cerf.


  • Résumé

    Le sujet de cette thèse est l'étude du flux maximal en percolation de premier passage dans le graphe Zd pour d ≥ 2. Dans les trois premières parties de la thèse nous nous intéressons au flux maximal Φ entre le sommet et la base d'un cylindre et au flux maximal τ entre le bord du demi-cylindre supérieur et le bord du demi-cylindre inférieur. Une loi des grands nombres est connue pour τ quand les dimensions du cylindre tendent vers l'infini, et elle se généralise facilement à Φ dans le cas des cylindres très plats. Concernant Φ dans des cylindres droits, une loi des grands nombres beaucoup plus difficile à établir a été prouvée par Kesten en 1987, et améliorée par Zhang en 2007. Dans la première partie de cette thèse nous montrons que les grandes déviations par au-dessus de τ et Φ dans les cas cités précédemment sont d'ordre volumique. Nous obtenons de plus le principe de grande déviation correspondant pour Φ dans des cylindres droits. Dans la deuxième partie de la thèse nous prouvons que les grandes déviations par en-dessous de τ et Φ dans les mêmes cas sont d'ordre surfacique, et nous montrons les principes de grande déviation correspondant. Dans la troisième partie nous considérons le cas de la dimension deux, dans lequel nous généralisons la loi des grands nombres, le principe de grande déviation par en-dessous et l'étude de l'ordre des déviations supérieures à la variable Φ dans des cylindres inclinés. La quatrième partie de la thèse est consacrée à l'étude du flux maximal à travers un domaine connexe de Rd dont les dimensions tendent vers l'infini à la même vitesse dans toutes les directions. Nous prouvons une loi des grands nombres pour ce flux, et nous montrons que ses déviations supérieures sont d'ordre volumique tandis que ses déviations inférieures sont d'ordre surfacique. Ce résultat s'applique en particulier aux cylindres penchés dont les dimensions grandissent de manière isotrope, et généralise donc la loi des grands nombres pour Φ prouvée par Kesten dans le cas des cylindres droits.

  • Titre traduit

    Large deviations for the maximal flow in first passage percolation


  • Résumé

    The object of this thesis is the study of the maximal flow in first passage percolation on the graph Zd for d ≥ 2. Ln the first three parts of the thesis, we are interested in the maximal flow Φ between the top and the bottom of a cylinder and in the maximal flow τ between the boundary of the upper half cylinder and the boundary of the lower half cylinder. A law of large numbers is known for τ when the dimensions of the cylinders go to infinity, and it can be easily extended to Φ in very flat cylinders. As concerns Φ in straight cylinders, a law of large numbers much more difficult to establish has been proved by Kesten in 1987, and improved by Zhang in 2007. Ln the first part of this thesis, we prove that the upper large deviations for τ and Φ in the cases cited above are of volume order. Moreover we obtain the corresponding large deviation principle for Φ in straight cylinders. Ln the second part of the thesis, we show that the lower large deviations of τ and Φ in the same cases are of surface order, and we prove the corresponding large deviation principles. Ln the third part, we consider the case of the dimension two, in which we generalize the law of large numbers, the lower large deviation principle and the study of the order of the upper large deviations to the variable Φ in tilted cylinders. The fourth part of the thesis is devoted to the study of the maximal flow through a connected domain of Rd whose dimensions go to infinity at the same speed in every direction. We prove a law of large numbers for this flow, and we show that its upper large deviations are of volume order whereas its lower large deviations are of surface order. Ln particular, this result applies to tilted cylinders whose dimensions grow isotropically, and hence extends the law of large numbers for Φ proved by Kesten in the case of straight cylinders.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (229 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. [231-233]

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 0g ORSAY(2009)70
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