Problèmes de définissabilité sur l'ensemble des entiers et des entiers p-adiques

par Achille Frigeri

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Christian Choffrut.

Soutenue en 2009

à Paris 7 .


  • Résumé

    Le présent mémoire est dédié à l'étude des propriétés de définissabilité et, plus particulièrement, à la description des ensembles définissables dans de structures logiques qui s'interprètent naturellement dans la théorie des automates et à l'étude d'un problème de définissabilité de sous-structures. La thèse est divisée en deux parties principales : la première relative à l'étude de structures ayant pour domaine l'ensemble des entiers relatifs (et donc reliée aux langages sur des mots finis), la deuxième relative à l'étude de structures ayant pour domaine l'ensemble des entiers p-adiques (et donc reliée aux langages sur des mots infinis). La première partie étudie l'arithmétique de Presburger, c'est-à-dire l'arithmétique des entiers sans la multiplication. En donnant une caractérisation des ensembles définissable dans arithmétique faible de Presburger, nous prouvons la décidabilité de l'arithmétique faible de Presburger dans l'arithmétique de Presburger. La seconde partie de notre travail est par contre dédiée aux automates qui reconnaissent des mots infinis vus comme le codage de structures des donnes pour la manipulation de nombres. Contrairement à l'approche habituelle, nous considérerons les mots infinis comme le codage d'un entier p-adique. Nous prouverons que les ensembles d'entiers p- adiques reconnus par un automate de Buchi sont ceux exprimables au premier ordre dans une particulaire structure. Nous étudierons en outre la puissance expressive de quelques sous- structures, en établissant, quand cela est possible, une élimination des quantificateurs.

  • Titre traduit

    Definability problems in Z and in Z_p


  • Pas de résumé disponible.


  • Résumé

    The present work is devoted to the study of definability properties, more precisely to the description of sets definable in some interesting logical structure and to a special problem about definability of substructures. The thesis is divided in two main parts. The first part concerns Presburger arithmetic, i. E. , the theory of integers with addition and order. Revisiting the notion of linear set introduced by Ginsburg and Spanier, we give a characterization of the subsets which are first-order definable in the weak Presburger arithmetic, i. E. , in the theory of integers with addition. Using this characterization we prove that is decidable if a relation first-order definable in the Presburger arithmetic is definable in the weak Presburger arithmetic. The second part concerns finite automata on infinite words. Contrary to the usual approach, we interpret an infinite word as the encoding of a p-adic number. We prove the equivalence, under definability, between the recognizable sets of p-adic integers and the subsets definable in a suitable first-order structure. We also study the expressive power of some substructures. Quantifier elimination is also proved in some cases.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (161 f.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : 74 réf.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris Diderot - Paris 7. Service commun de la documentation. Bibliothèque Universitaire des Grands Moulins.
  • PEB soumis à condition
  • Cote : TS (2009) 247
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