Réflexion, Compacité et Arithmétique des Cardinaux

par Victor Manuel Torres Pérez

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Stevo Todorc̆ević.

Soutenue en 2009

à Paris 7 .


  • Résumé

    Dans cette thèse on expose des applications de deux idées importantes dans la théorie des ensembles. La première idée est la réflexion des ensembles stationnaires. La deuxième est que le renforcement de la logique dans le théorème de compacité de Gödel provoque une série d'axiomes de grands cardinaux intéressants et des autres principes ayant une influence à des questions fondamentales de la théorie des ensembles moderne comme, par exemple, le problème de la cardinalité du continu et d'autres questions qui touchent l'arithmétique des cardinaux. On montre que le Principe Faible de Réflexion (Weak Reflection Principle ou WRP) et la saturation de l'idéal des sous-ensembles nonstationnaires de omega_l impliquent que pour tout cardinal régulier thêta plus grand ou étal à aleph 2, thetaA(omega_l)=theta. En fait, nous prouverons que cette supposition nous donnera un résultat un peu plus fort, que WRP plus la saturation de l'idéal NS entraînent le principe du diamant dans sa version de deux cardinales [thêta]A(omega_l) pour toute thêta supérieure ou égal à omega_2. Comme indiqué ci-dessus, un autre thème de cette thèse est la compacité des logiques infinitaires. Nous démontrons que la Conjecture de Rado plus la saturation de l'idéal NS impliquent Diamond_{[omega_n]A{omega_l}} pour tout entier n entier plus grand que 1. En fait, les suites diamant que nous obtenons se concentrent sur les ensembles qui ont une cofinalité uniformément dénombrable omega_l. Nous espérons que davantage de travail nous permettra d'étendre ce résultat à tous les autres nombres cardinaux réguliers supérieures ou égaux à omega_2.

  • Titre traduit

    Reflection, Compactness and Cardinal Arithmetic


  • Résumé

    In this Thesis we give applications of two important ideas in Set Theory. One of these ideas is the reflection of stationary sets. The second idea is that strengthening the logic in Gödel's compactness theorem gives rise to a variety of interesting large-cardinal axioms and other compactness principles with influence to so basic questions of modem Set Theory such as, for example, the problem about the cardinality of the continuum and other questions about the cardinal arithmetic. We show that the Weak Reflecting Principle (WRP) together with the saturation of the ideal NS imply that for every regular cardinal thêta grater than aleph 1, thetaA(omega_l)=theta. As indicated above, another theme of this Thesis is the compactness of infmitary logics. We prove that Rado's conjecture together with the saturation of the ideal NS imply Diamond_{[omega_n]A{omega_l}} for every natural number n grater than 1. In fact, the diamond sequences that we get concentrate on sets that have uniformly uncountable cofinality omega_l. We expect that further work will lead us to similar consequences to ail other regular cardinal numbers greater than or equal to omega_2.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (58 f.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : 27 réf.

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