Théorie de Chern-Weil sous les groupes quantiques

par Runqiang Jian

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Marc Rosso.

Soutenue en 2009

à Paris 7 .


  • Résumé

    Dans ce travail, nous étudions trois sujets liés à l'opérateur de Yang-Baxter: algèbres d'endormorphismes et la q-trace, constructions d'algèbres de Yang-Baxter et de cogèbres de Yang-Baxter, algèbres SB_\inftyS quantiques et algèbres de quasi-battage quantiques. Ce sont des quantifications d'objets familiers correspondants au sens où le flip classique est remplacé par un tressage. Ce travail est divisé en trois chapitres. Chapitre 1: Soit S(V, \sigma)S un espace avec un tressage S\sigmaS de type de Hecke et tel que S \dirn S_\sigma^i(V) = 1S pour certain suffisamment grand i. Nous étudions l'algèbre d'endomorphismes S\oplus_{k = 1} ^ i EndS_\sigma^k (V) S. Après avoir défini trois produits associatifs sur cet espace, nous construisons une q-analogue de la trace classique, appelée q-trace, de tout endomorphisme de S S_\sigmaAk (V) S. Cette nouvelle trace est un morphisme de l'algèbre si on considère le troisième produit. Et nous montrons que cette q-trace est proportionnele à la trace quantique. Chapitre 2: Nous présentons des méthodes pour construire des algèbres de Yang-Baxter et des cogèbres de Yang-Baxter. Ils comprennent: modules de Yetter-Drinfel'd avec conditions de compatibilité supplémentaires, algèbres de battage quantiques et algèbres S B_\inftyS quantiques. L'algèbre S B_\inftyS quantique est une généralisation de l'algèbre de Yang-Baxter et de l'algèbre SB_\infty S. Nous également introduisons l'algèbre de 2-YB qui est motivée par les travaux de Loday et Ronco. Ils fournissent des algèbres SB_\inftyS quantiques. Chapitre 3: Nous définissons l'algèbre de quasi-battage quantique par algèbres SB_\inftyS quantiques, dans l'espritde l'algèbre de battage quantique intruduite par Rosso. Nous étudions des propriétés de ces algèbres de quasi- battage quantiques. Par exemple, la propriété universelle, la commutativité, etc.

  • Titre traduit

    Chern-weil theory on quantum croups


  • Pas de résumé disponible.


  • Résumé

    In this work, we study three topics related to the Yang-Baxter operator: endomorphism algebras and the q-trace, constructions of Yang-Baxter algebras and Yang-Baxter coalgebras, quantum SB_\inftyS-algebras, and quantum quasi-shuffle algebras. They are the quantizations of the corresponding objects in the sense that the usual flip is replaced by a braiding. This work is divided into three chapters. Chapter 1 : Let S(V,\sigma)S be a braided space with a braiding S\sigmaS of Hecke type and such that S\dim S_\sigma^i(V)=lS for some sufficiently large i. We study thé endomorphism algebra S\oplus_{k=l }^i EndS_\sigma^k(V)S. After defining three associative products on this space, we construct a q-analogue of the usual trace, called q-trace, for any endomorphism of SS_\sigma^k(V)S. This new trace is an algebra morphism with respect to the third product. And we show that this q-trace is just the quantum trace up to some scalar. Chapter 2: We introduce several methods to construct Yang-Baxter (or short for YB) algebras and Yang-Baxter coalgebras. They include: Yetter-Drinfel'd modules with extra compatible conditions, quantum-shuffle algebras and quantum SB_\inftyS-algebras. Quantum SB_\inftyS-algebras are generalizations of both YB algebras and SB_\inftyS-algebras. We also introduce 2-YB algebras, which are motivated by the work of Loday and Ronco, to provide quantum SB_\inftyS-algebras. Chapter 3: Using the tool of quantum SB_\inftyS-algebras, we quantize quasi-shuffle algebras in the spirit of Rosso's quantum shuffle algebras. We study various properties of these quantum quasi-shuffle algebras. For instance, the universal property, the commutativity and so on.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (81 f.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. [79]-81

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris Diderot - Paris 7. Service commun de la documentation. Bibliothèque Universitaire des Grands Moulins.
  • PEB soumis à condition
  • Cote : TS (2009) 109
  • Bibliothèque : Université Pierre et Marie Curie. Bibliothèque Universitaire Pierre et Marie Curie . Section Mathématiques-Informatique Recherche.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : THESE 06978
  • Bibliothèque : Ecole normale supérieure. Bibliothèque de mathématiques et informatique.
  • Non disponible pour le PEB
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