Solutions régulières globales d’équations d’évolution de type pseudo-différentiel singulier

Regular global solutions of evolutions equations with singular pseudo-differentiel

• Auteur / Autrice : Ourida Ben Khalifa
• Direction : Daniel Gourdin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés libres

Problème de Cauchy linéaire,

Solution globale

Espace de Sobolev

Formule de Kirchhoff

Théorie de l’équation d’Euler Darboux

Théorie du noyau de Schwartz

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude d'équations aux dérivées partielles d'évolution qui, dans un certains sens, généralisent l'équation des ondes linéaire. Nous nous intéressons à la recherche des opérateurs différentiels du second ordre par rapport au temps sur Rt+ × Rxn de la forme P(t,x,∂t,∂x )= ∂t2- pn (t,∇x) tels que la solution de l'équation homogène associée avec des données de Cauchy régulières, s'exprime à l'aide d'une formule de moyenne de la vitesse initiale sur une surface difféomorphe à Sn-1(0,1). Un exemple classique est la formule de Kirchhoff pour l'équation des ondes si n=3. L'objectif consiste à généraliser cet exemple. Nous considérons dans le premier et le second chapitres les cas n=5 et n=2 et nous déterminons les opérateurs. Nous prouvons l'existence d'une classe de ce type d'opérateurs que nous appellerons opérateurs méta-pseudo-différentiels. Ces opérateurs seront étudiés en détail dans le dernier chapitre.

This thesis is devoted to the study of partial differential equations, which generalize in a certain sense the linear wave equation. We are interested to find second order differential operators defined on Rt+ × Rxn of the form P(t,x,∂t,∂x )= ∂t2 - pn (t,∇x) such that the solution of the wave linear equation with regular Cauchy data, is equal to t times the mean of the initial speed on the unit sphere in Rxn. A classical example is the Kirchhoff formula for the wave equation when n=3. We aim to generalize this example. We consider in the first and the second chapter the cases n=5 et n=2 and we determine the operators pn (t,∇x). We prove the existence of a such family of linear operators called meta-pseudo differential operators which will be study in details in the last chapter