Automated reasoning techniques for hybrid logics

par Daniel Alejandro Gorín

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Patrick Blackburn et de Verónica Becher.

Soutenue le 09-12-2009

à Nancy 1 , dans le cadre de IAEM Lorraine , en partenariat avec LORIA (laboratoire) .

Le président du jury était Pedro d'Argenio.

Le jury était composé de Patrick Blackburn, Veronica Becher, Gert Smolka, Gabriel Infante-Lopez, Carlos Areces, Pedro d'Argenio, Hala Skaf-Molli.

Les rapporteurs étaient Gert Smolka, Gabriel Infante-Lopez.

  • Titre traduit

    Techniques de raisonnement automatique pour les logiques hybrides


  • Résumé

    Les logiques hybrides accroissent les logiques modales avec des éléments pour décrire et raisonner à propos de l'identité, ce qui est crucial dans certaines situations. Les logiques modales que l'on connaît comme ``hybrides'' aujourd'hui remontent au travaux de Prior dans les années 1960, mais leur étude systématique n'a commencé qu'au bout des années 1990. Elles sont intéressantes en grande partie car elles comblent un manque en matière d'expressivité dans les logiques modales. D'ailleurs, elles sont connues parfois comme des ``logiques modales avec égalité''. L'un des thèmes centraux de cette thèse est le problème de la satisfiabilité pour celle qui est probablement la mieux connue des logiques hybrides: le système H(@,dwn), et pour certaines de ses sous-logiques. La satisfiabilité est le problème fondamental en raisonnement automatique. Dans le cas des logiques hybrides, elle a été étudiée essentiellement par la méthode des tableaux. Dans cette thèse, nous essayons de compléter le panorama en explorant la satisfiabilité des logiques hybrides par d'autres méthodes: la résolution du premier ordre et des variantes de calcul de résolution qui manipulent directement des formules hybrides. Nous présentons un certain nombre de traductions en temps linéaire de H(@,dwn) à la logique de premier ordre qui préservent la satisfiabilité. Elles sont conçues de façon telle qu'elles réduisent l'espace de recherche. Ensuite nous dirigeons notre attention vers les calculs qui manipulent directement des formules hybrides. En particulier, nous considérons le calcul de résolution directe. Inspirés par la résolution du premier ordre, nous transformons ce calcul en un calcul de résolution ordonnée avec des fonctions de sélection, et nous prouvons qu'il a la propriété de réduction des contre-exemples. Nous concluons ainsi qu'il est réfutationnellement complet et qu'il est compatible avec le fameux critère standard de redondance. Nous montrons également qu'une version raffinée de ce calcul constitue un procédure de décision pour H(@), un fragment décidable de H(@,dwn). Dans la dernière partie de cette thèse, nous explorons certaines formes normales des logiques hybrides et d'autres logiques modales étendues. Nous nous intéressons aux formes normales où certaines modalités ne sont jamais présentes dans la portée d'autres opérateurs modaux. Nous montrons qu'il est possible de profiter de ce type de transformations sous la forme d'un prétraitement, dans le but de réduire le nombre d'inférences nécessaires pour un prouveur modal. En nous efforçant de formuler ces résultats en tenant compte d'autres logiques modales étendues, nous arrivons à une formulation de la sémantique modale par un nouveau type de modèles définis de façon coinductif. Plusieurs logiques modales étendues (dont les logiques hybrides) peuvent être définies par des classes de modèles coinductifs. Ainsi, des résultats qui étaient habituellement prouvés séparément pour chaque langage (mais dont la preuve n'était souvent que de routine) peuvent être démontrés d'une façon générale.


  • Résumé

    Hybrid logics augment classical modal logics with machinery for describing and reasoning about identity, which is crucial in many settings. Although modal logics we would today call ``hybrid'' can be traced back to the work of Prior in the 1960's, their systematic study only began in the late 1990's. Part of their interest comes from the fact they fill an important expressivity gap in modal logics. In fact, they are sometimes referred to as ``modal logics with equality''. One of the unifying themes of this thesis is the satisfiability problem for the arguably best-known hybrid logic, H(@,dwn), and some of its sublogics. Satisfiability is the basic problem in automated reasoning. In the case of hybrid logics it has been studied fundamentally using the tableaux method. In this thesis we attempt to complete the picture by investigating satisfiability for hybrid logics using first-order resolution (via translations) and variations of a resolution calculus that operates directly on hybrid formulas. We present firstly several satisfiability-preserving, linear-time translations from H(@,dwn) to first-order logic. These are conceived in a way such that they tend to reduce the search space of a resolution-based theorem prover for first-order logic. We then move our attention to resolution-based calculi that work directly on hybrid formulas. In particular, we will consider the so-called direct resolution calculus. Inspired by first-order logic resolution, we turn this calculus into a calculus of ordered resolution with selection functions and prove that it possesses the reduction property for counterexamples from which it follows its completeness and that it is compatible with the well-known standard redundancy criterion. We also show that certain refinement of this calculus constitutes a decision procedure for H(@), a decidable fragment of H(@,dwn). In the last part of this thesis we investigate certain normal forms for hybrid logics and other extended modal logics. We are interested in normal forms where certain modalities can be guaranteed not to occur under the scope of other modal operators. We will see that these kind of transformations can be exploited in a pre-processing step in order to reduce the number of inferences required by a modal prover. In an attempt to formulate these results in a way that encompasses also other extended modal logics, we arrived at a formulation of modal semantics in terms of a novel type of models that are coinductively defined. Many extended modal logics (such as hybrid logics) can be defined in terms of classes of coinductive models. This way, results that had to be proved separately for each different language (but whose proofs were known to be mere routine) now can be proved in a general way.


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