Problèmes d'optimisation de formes par méthodes capacitaires

par Anne Lux-Grenard (Grenard)

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Dorin Bucur.

Le président du jury était Antoine Henrot.

Le jury était composé de Eric Bonnetier, Zakaria Belhachmi, Edouard Oudet, Marc Dambrine.


  • Résumé

    On introduit une nouvelle modélisation du décollement de membrane soumise à une force croissante par rapport au temps, basée sur une évolution quasi-statique, s'appuyant sur la notion de mouvement général minimisant introduit par De Giorgi. Notre modèle utilise les quasi-ouverts et/ou les mesures capacitaires pour représenter l'état de la membrane à un instant t. Dans notre cas, l'évolution de la membrane est régie par un principe énergétique développé par Mielke, qui a été aussi utilisé dans la propagation des fissures introduite Francfort et Marigo. On obtient ainsi une évolution quasi-statique de la membrane représentée comme mesure capacitaire qui, sans être en contradiction avec le modèle mécanique de Andrews et Shillor, met en valeur les phénomènes de relaxation. On effectue ensuite des simulations numériques sur ce modèle, faites à la fois sur la représentation du décollement de membrane par des quasi-ouverts mais aussi par des mesures, et à chaque fois, un algorithme de descente local compatible avec le point de vue des mécaniciens, et un algorithme plus global à stratégie évolutionnaire sont implémentés. Ces simulations mettent en valeur les phénomènes de relaxation aperçus dans l'étude théorique. Enfin, la dernière partie s'intéresse aux résultats d'identification de multi-fissures de G. Alessandrini et A. Diaz Valenzuela et aux points conductifs introduits par Z. Belhachmi et D. Bucur. Le but est d'étendre et d'étudier ce concept sur un matériau non homogène, pour un défaut ayant un nombre infini de composantes connexes de diamètre minoré

  • Titre traduit

    Shape optimization problems with capacitary measures


  • Résumé

    This thesis introduces a new model for debonding membranes, subject to a debonding force depending on time. We deal with a quasi-static evolution in the framework of the minimizing movement theory introduced by De Giorgi. This new tool is based on the analysis of the evolution of capacitary measures and shapes. In our case, the evolution process is governed by an energy principle developped by Mielke also used in the crack propagation model of Francfort and Marigo. The membrane, represented by a capacitary measure, is subject to a natural relaxation phenomenon during the evolution, being in accordance with the mechanical model of Andrews and Shillor. The second chapter consists on the numerical analysis of this model, from two points of view : representation of the debonding membranes by quasi-open sets and by capacitary measures, respectively. In each case, local algorithms in agreement with mechanical point of view and evolutionary strategy algorithms which allow to escape from local minimizers are implemented. These computations emphasize the relaxation phenomenon in agreement with the theory. The last part deals with the identification of multi-cracks by electrostatic boundary measurements. We extend uniqueness results of G. Alessandrini and A. Diaz Valenzuela relying on the analysis of the conductive points introduced by Z. Belhachmi and D. Bucur. The goal is to deal with a non homogeneous material and to prove uniqueness (for two boundary measurement of defects detection having an infinite number of connected components of minorated diameter


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