Espaces duaux de certains produits semi-directs et noyaux associés aux orbites plates

par Mounir Elloumi

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Jean Ludwig.

Soutenue en 2009

à Metz .


  • Résumé

    Le premier problème abordé dans cette thèse est la description de la topologie du dual unitaire des groupes de Lie à radical nilpotent co-compact, en particulier les produits semi-directs G = K x N des groupes compacts K avec les groupes de Lie nilpotents N. L’espace dual G de G a été déterminé par la théorie de Mackey et la paramétrisation géométrique donnée par R. L. Lipsmann qui ont prouvé l’existence d’une bijection entre G et l’espace des orbites coadjointes admissibles de G. Notre objectif est de comparer la topologie de Fell du dual unitaire avec la topologie quotient de l’espace des orbites coadjointes admissibles. Le premier exemple traité dans ce travail est le cas des groupes de déplacement Mn = SO(n) x Rn. Nous avons prouvé que l’espace dual de Mn est homéomorphe à son espace des orbites coadjointes admissibles. Ce résultat peut être vrai aussi pour les groupes Gn = U(n) x Hn, où Hn est le groupe de Heisenberg de dimension 2n + 1 (il est uniquement prouvé pour le groupe G1). Le deuxième problème considéré dans cette thèse est la déterminaton des représentations unitaires irréductibles p d’un groupe G, dont le noyau de p dans L1(G) est donné par les fonctions dont la transformée de Fourrier s’annule sur l’orbite Op de p. Ce problème a été résolu dans le cas de groupes de Lie nilpotents par J. Ludwig, qui a montré que ker(p) = {ƒ ? L1(G); ƒ[accent circonflexe](Op) = {O}} si et seulement si l’orbite coadjointe Op est plate. Le travail consiste à prouver qu’on a un résultat équivalent pour les groupes de Lie complètement résolubles

  • Titre traduit

    Dual spaces of some semi-directs products and kernels associated to flat orbits


  • Résumé

    The first problem treated in this thesis is the description of the dual topology of Lie groups with co-compact nilpotent radical, in particular the semi direct products G = K x N of compacts groups K with nilpotent Lie groups N, The dual space G of G had been determined via Mackey’s theory and the geometric parametrization given by R. L. Lipsmann who had proved that there is a bijection between G and the admissible coadjoint orbit space of G. Our object is to compare the Fell topology of the dual space with the natural topology of the quotient space of admissible coadjoint orbits. The first example treated in this work is the case of the motion groups Mn = SO(n) x Rn. We have shown that the dual pace of Mn is homeomorphic with its admissible coadjoint orbit space. This result may be true also for the groups Gn = U(n) x Hn, where Hn is the 2n+1 dimensional Heisenberg Lie group (it is only proved for the group G1). The second issue regarded in this thesis is the determinaton of the irreducible unitary representation p of a group G, for which the kernel of p in L1(G) is given by the functions whose the Fourrier transform annihilates on the orbit O of p. This problem was solved for the case of nilpotent roups by J. Ludwig who had shown that ker(p) = {ƒ ? L1(G); ƒ[accent circonflexe](Op) = {O}} if and only if Op is a flat orbit. The work is to prove that this result remains true for completely solvable Lie groups

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  • Annexes : Notes bibliogr.

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