Étude des problèmes unilatéraux : analyse de récession, stabilité de Lyapunov et applications en électronique et en mécanique

Study of the unilaterals problems : recession analysis, Lyapunov's stability and applications in electronics and mechanics

• Auteur / Autrice : Hassan Saoud
• Direction : Samir Adly, Michel A. Théra
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et ses applications
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Limoges
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Limoges. Faculté des sciences et techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions convexes

Circuits électriques

Coulomb, Fonctions de

Lagrange, Équations de

Inégalités hémivariationnelles

Inégalités (mathématiques)

Liapounov, Stabilité de

Mots clés libres

Analyse convexe

Analyse de récession

Opérateur semi-coercif

Inéquation variationnelle

Inéquation hémivariationnelle

Inclusion différentielle

Principe d'invariance de La Salle

Stabilité en temps fini

Système Euler-Lagrange

Frottement de Coulomb

Résumé

Dans ce travail, nous étudions les problèmes unilatéraux et leurs applications. Cette thèse se divise en deux parties. La première partie est consacrée à l’étude des inéquations variationnelles semi-coercives linéaires. Le but est de donner des conditions nécessaires et suffisantes pour la stabilité du problème par rapport à la perturbation des données. Pour cela, nous essayons de caractériser l’intérieur topologique de l’ensemble résolvant associé au problème. Ces résultats théoriques sont prouvés à l’aide des outils de l’analyse de récession. Nous discutons quelques applications de ces résultats abstraits à la fois en électronique et en mécanique. La seconde partie porte sur l’étude de la stabilité au sens de Lyapunov des inéquations variationnelles (IVE) et hémivariationnelles (IHE) d’évolution. Dans un premier temps, nous rappelons quelques résultats de stabilité des (IVE) portant sur l’étude des fonctions de Lyapunov et du principe d’invariance de La Salle. Ensuite, nous donnons deux conditions suffisantes et une condition nécessaire pour établir la stabilité en temps fini (S. T. F. ) de l’équilibre des (IVE). Ces résultats sont appliqués aussi au problème de complémentarité. Dans un second temps, on étudie la stabilité de Lyapunov des (IHE). Nous donnons une extension du principe d’invariance de La Salle ainsi qu’une étude de la S. T. F. . Dans les deux cas considérés, les résultats trouvés utilisent des fonctions de Lyapunov de classe C1. Finalement, nous étudions la stabilité des systèmes de type Euler-Lagrange soumis à une force de frottement sec. Nous appliquons le résultat obtenu à un problème issu de la mécanique.

In this thesis, we study the unilaterals problems and their applications. It is divided in two parts. The first part is dedicated to the study of the linear semi-coercive variational inequalities. The aim is to give necessary and sufficient conditions for the stability of the problem with respect to data perturbation. For that, we try to characterize the topological interior of the resolvent set associated to the problem. These theoretical results are proved by using of the recession analysis. Some applications of the abstract results in mechanics and in electronic circuits involving devices like ideal diode and practical diode are discussed. The second part concerns the study of the Lyapunov stability for the variational (VEI) and hémivariational (HEI) evolution inequalities. First, we recall some results of stability of (VEI) using Lyapunov’s functions and La Salle’s invariance principle. Moreover, we give two sufficient conditions and a necessary condition to establish the finite-time stability (F. T. S. ) of the equilibrium of (VEI). These results are also applied to the complementarity problem. Second, we study the Lyapunov stability of (HEI). We give an extension of the La Salle principle invariance as well as a study of the F. T. S. . In both cases considered, the results found use Lyapunov’s functions of class C1. Finally, we study the stability of Euler-Lagrange’s systems subjected to a dry friction. The result found is applied to a mechanical problem.