Estimation, validation et identification des modèles ARMA faibles multivariés

par Yacouba Boubacar Mainassara

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Christian Francq et de Jean-Michel Zakoian.

Soutenue en 2009

à Lille 3 .


  • Résumé

    Dans cette thèse nous élargissons le champ d'application des modèles ARMA (AutoRegressive Moving-Average) vectoriels en considérant des termes d'erreur non corrélés mais qui peuvent contenir des dépendances non linéaires. Ces modèles sont appelés des ARMA faibles vectoriels et permettent de traiter des processus qui peuvent avoir des processus des dynamiques non linéaires très générales. Par opposition, nous appelons ARMA forts les modèles utilisés habituellement dans la littérature dans lesquels le terme d'erreur est supposé être un bruit iid. Les modèles ARMA faibles étant en particulier denses dans l'ensemble des processus stationnaires réguliers, ils sont bien plus généraux que les modèles ARMA forts. Le problème qui nous préoccupera sera l'analyse statistique des modèles ARMA faibles vectoriels. Plus précisément, nous étudions les problèmes d'estimation et de validation. Dans un premier temps, nous étudions les propriétés asymptotiques de l'estimateur du quasi-maximum de vraisemblance et de l'estimateur des moindres carrés. La matrice de variance asymptotique de ces estimateurs est de la forme "sandwich", et peut être très différente de la variance asymptotique obtenue dans le cas fort. Ensuite, nous accordons une attention particulière aux problèmes de validation. Dans un premier temps, en proposant des versions modifiées des tests de Wald, du multiplicateur de Lagrange et du rapport de vraisemblance pour tester des restrictions linéaires sur les paramètres de modèles ARMA faibles vectoriels. En second, nous nous intéressons aux tests fondés sur les résidus, qui ont pour objet de vérifier que les résidus des modèles estimés sont bien des estimations de bruits blancs. Plus particulièrement, nous nous intéressons aux tests portmanteau, aussi appelés tests d'autocorrélation. Nous montrons que la distribution asymptotique des autocorrélations résiduelles est normalement distribuée avec une matrice de covariance différente du cas fort (c'est-à-dire sous les hypothèses idd sur le bruit). Nous en déduisons le comportement asymptotique des statistiques port-manteau. Dans le cadre standard d'un ARMA fort, il est connu que la distribution asymptotique des tests portmanteau est correctement approximée par un chi-deux. Dans le cas général, nous montrons que cette distribution asymptotique est celle d'une somme pondérée de chi-deux. Cette distribution peut être très différente de l'approximation chi-deux usuelle du cas fort. Nous proposons donc des tests portmanteau modifiés pour tester pour tester l'adéquation de modèles ARMA faibles vectoriels. Enfin, nous nous sommes intéressés aux choix des modèles ARMA faibles vectoriels fondé sur la minimisation d'un critère d'information, notamment celui introduit par Akaike (AIC). Avec ce critère, on tente de donner une approximation de la distance (souvent appelée information de Kullback-Leibler) entre la vraie loi des observations (inconnue) et la loi du modèle estimé. Nous verrons que le critère corrigé (AICc) dans le cadre des modèles ARMA faibles vectoriels peut, là aussi, être très différent du cas fort

  • Titre traduit

    Estimation, validation and identification of weak vectorial ARMA models


  • Résumé

    The goal of this thesis is to study the vector autoregressive moving-average (V)ARMA models with uncorrelated but non-independent error terms. These models are called weak VARMA by opposition to the standard VARMA models, also called strong VARMA models, in which the error terms are supposed to be iid. We relax the standard independence assumption, and even the martingale difference assumption, on the error term in order to be able to cover VARMA representations of general nonlinear models. The problems that are considered here concern the statistical analysis. More precisely, we concentrate on the estimation and validation steps. We study the asymptotic properties of the quasi-maximum likelihood (QMLE) and/or least squares estimators (LSE) of weak VARMA models. Conditions are given for the consistency and asymptotic normality of the QMLE/LSE. A particular attention is given to the estimation of the vector autoregressive moving-average processes, the next important step in the VARMA modeling is the validation stage. The validity of the different steps of the traditional methodology of Box and Jenkins, identification, estimation and validation, depends on the noise properties. Several validation methods are studied. This validation stage is not only based on portmanteau tests, but also on the examination of the autocorrelation function of the residuals and on tests of linear restrictions on the parameters. We studied the joint autocovariances and autocorrelations under weak assumptions on the noise. We deduce the asymptotic distribution of the Ljung-Box (or Box-Pierce) is shown that the asymptotic distribution of the portmanteau tests is that of a weighted sum of independent chi-squared random variables. The symptotic distribution can be quite different when the independence assumption is relaxed. Consequently, the usual chi-squared distribution does not provide an adequate approximation to the distribution of the Box-Pierce goodness-of fit portmanteau test. Hence we propose a method to adjust the critical values of the portmanteau tests. Finally, we considered the problem of orders selection of weak VARMA models by means of information criteria. We propose a modified Akaike information criterion (AIC)

Autre version

Cette thèse a donné lieu à une publication en 2010 par [CCSD] [diffusion/distribution] à Villeurbanne

Estimation, validation et identification des modèles ARMA faibles multivariés

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Informations

  • Détails : 1 vol. (x-171 f.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. f. 166-167

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  • Bibliothèque : Université de Lille. Service commun de la documentation.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : 50.377-2009-68
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