Formes quasi-modulaires et développement de Taylor de formes modulaires de Siegel

par Patrick Lemaire

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de Valéry Gritsenko.

Soutenue le 10-12-2009

à Lille 1 .


  • Résumé

    Le premier exemple de formes quasi-modulaires est la série d’Eisenstein G2, qui est une forme quasi-modulaire pour SL(2,Z) et qui joue un rôle fondamental dans la structure de ces formes. En particulier, ces formes apparaissent quand on étudie les développements de Taylor par rapport à la variable abélienne des formes modulaires de Jacobi. Dans cette thèse, nous décrivons de nouvelles formes quasi-modulaires en plusieurs variables: les formes quasi-modulaires pour SL(2,Z)×SL(2,Z) et les formes quasi-modulaires sur les groupes orthogonaux. Les premières sont associées aux développements de Taylor des formes modulaires de Siegel. Les secondes apparaissent lors de l’étude des coefficients de Taylor en certains points des formes modulaires pour un réseau quadratique de signature(2, n).Nous menons des calculs explicites dans le cas des formes modulaires de Siegel pour les groupes paramodulaires en donnant les premiers coefficients de Taylor en z = 0 des formes modulaires fondamentales 1/2 ( la série théta de Siegel de caractéristique 2), 1, 2, 5et 35(les deux dernières sont les formes modulaires d’Igusa) et quelques autres formes reflexives introduites par V.Gritsenko et V.Nikulin dans la théorie des algèbres de Kac-Moody hyperboliques.Les formes modulaires en question sont aussi importantes dans la géométrie algébrique (la théorie des espaces de modules des surfaces abéliennes et des surfaces de Kummer) etdans la physique (la théorie de cordes). Les développements de Taylor des formes modulaires sur les groupes orthogonaux O(2, n) jouent par exemple un rôle important dans la théorie des espaces de modules des surfaces K3 polarisées.

  • Titre traduit

    Quasi modular forms and Taylor expansion of Siegel modular forms


  • Résumé

    The first example of quasi modular forms is the G2 Eisenstein serie which is a quasimodular form for SL(2,Z) and which is very important for quasi modular forms structure.In particular, these forms appear when we study Taylor expansions of Jacobi forms with respect to abelian variable. In this thesis, we describe new quasi modular forms : quasi modular forms for SL(2,Z)× SL(2,Z), quasi modular forms for orthogonal groups. The first ones are associated to Taylor expansion of Siegel modular forms. The second ones appear when we study Taylor coefficients of modular forms for a lattice of signature (2, n) around somes points. We give some definite calculus in the case of Siegel modular forms by giving the first coefficients of Taylor expansion around z = 0 of fundamental modular forms 1/2(Siegel theta serie of characteristic 2) the 1, 2 functions, the 5 and 35 functions (which are the Igusa modular forms) and some other reflective functions introduced by V.Gritsenko and V.Nikulin in the theory of hyperbolic Kac-Moody algebras. .These modular forms are usefull in algebric geometry (theory of moduli spaces of abelian surfaces and Kummer surfaces) and in physics (string theory). Taylor expansions of modular forms for the orthogonal groups O(2, n) are very usefull in the theory of moduli spaces of polarized K3 surfaces for example.


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