Stabilité stochastique, attracteur aléatoire et bifurcations homocline et hétérocline

par Qiuying Lu

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de Guoting Chen et de Deming Zhu.

Soutenue le 10-06-2009

à Lille 1 en cotutelle avec l'East-China normal University.


  • Résumé

    Cette thèse est consacré à l'étude de certaines équations différentielles stochastiques et la bifurcation des orbites homocline et hétérocline. On présente les conditions pour la stabilité stochastique du modèle SIRS stochastique avec ou sans retard. Nous montrons que l'équation stochastique de Ginzburg-Landau avec perturbation aléatoire additive possède un unique D-attracteur aléatoire dans l'espace entier. Dans la seconde partie, en utilisant la méthode de repère mobile, on étudie la bifurcation dans trois cas de figure: la bifurcation d'orbite homocline non résonante en dimension 3 avec inclination-flip, la bifurcation d'orbites homocline doubles tordues de codimension 2, et la bifurcation de cycle hétérodimensionnel dégénéré avec orbite-flip. Dans le premier cas nous montrons, pour le système perturbé, l'existence d'orbite 1-homocline, orbite 1-périodique, orbite 2n-homocline et orbite 2n-périodique. Dans le deuxieme cas, on montre des résultats de bifurcation sous la condition d'une orbite tordue ou les deux tordues. Dans le troisième situation, sous des hypothèses génériques, nous présentons des conditions pour l'existence, unicité, co-existence ou non-co-existence d'orbite homocline, d'orbite heterocline et d'orbite périodique. Dans tous les cas les surfaces de bifurcation sont obtenues et elles sont présentées dans le sous espace de dimension 2 engendré par les deux premiers vecteurs de Melnikov.

  • Titre traduit

    Stochastic stability, random attractor and homoclinic and heteroclinic bifurcation


  • Résumé

    The thesis is devoted to the study of some stochastic differential equations and homoclinic and heteroclinic bifurcations. We present the stability conditions of the disease-free equilibrium for the stochastic SIRS model with or without distributed time delay. We show that the stochastic Ginzburg-Landau equation with additive noise on the entire n-dimensional space possesses a unique D-random attractor. ln the second part, by employing the moving frame method, we study the bifurcations in three situations: the bifurcation of the non-resonant 3D homoclinic orbit with inclination-fIip, codimension 2 bifurcation of twisted double homoclinic loops, and heterodimensional cycle bifurcation with orbit-flip. ln the first case, we show, for the perturbed systems, the existence of 1-homoclinic orbit, 1-periodic orbit, 2n-homoclinic orbit and 2n-periodic orbit. ln the second case, we obtain bifurcation results both under the condition of one twisted orbit and double twisted orbits. ln the last case, under some generic hypotheses, we present conditions for the existence, uniqueness, coexistence or non-coexistence of the homoclinic orbit, heteroclinic orbit and periodic orbit. ln all cases we figure out the bifurcation diagrams based on the existence region and they are presented on the 2-dimensional subspace spanned by the first two Melnikov vectors.

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