Produits automorphes, classification des réseaux et théorie du codage

par Benoît Grandpierre

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de Valéry Gritsenko.

Soutenue le 04-06-2009

à Lille 1 .


  • Résumé

    La fonction [Phi]12 de Borcherds, forme modulaire en 26 variables pour le groupe orthogonal O+(II2,26) et le caractère déterminant, de poids singulier 12, a été construite par R.E.Borcherds en 1994 avec la théorie des produits automorphes. Elle détermine la “Fake Monster Lie Algebra”, qui joue le rôle fondamental dans la preuve de la “Moonshine Conjecture”. [Phi]12 est aussi une forme modulaire réflexive (ses zéros sont des hyperplans définissant une réflexion orthogonale de O+(II2,26)). Beaucoup d’exemples ont été construits par Borcherds, et Nikulin a montré qu’il n’y a, en principe, qu’un nombre fini de formes modulaires réflexives. Gritsenko et Nikulin ont classifié les formes modulaires réflexives dans le cas des réseaux maximaux de signature (1,2) (1998 - 2002). Enfin, d’autres exemples importants de formes réflexives de poids singuliers ont été construits par N. Scheithauer (2000 - 2005). La classification des formes modulaires réflexives est un problème très important, de telles formes ont beaucoup d’applications dans différents domaines mathématiques et physiques : en théorie des algèbres de Kac-Moody, en géométrie algébrique, en théorie des cordes... Dans cette thèse, nous décrivons une nouvelle classe de formes modulaires réflexives associée à la fonction [Phi]12 de Borcherds. La signature des groupes orthogonaux considérés varie entre (2,3) et (2,25). Toutes les formes obtenues sont des quasi-restrictions de [Phi]12. Cette méthode, très arithmétique, nous donne plus de 60 formes modulaires réflexives, dont la première est la forme modulaire de Siegel de poids 35 construite par Igusa en 1964.

  • Titre traduit

    Automorphic products, classification of lattices and coding theory


  • Résumé

    Borcherds’ [Phi]12 function is a modular form in 26 variables for the orthogonal group O+(II2,26) and the character determinant, of singular weight 12, it was constructed by Borcherds in 1994 together with the automorphic products theory. It determines the Fake Monster Lie Algebra, which plays the fundamental role in the proof of the Moonshine Conjecture. [Phi]12 is also a reflective form (its zeros are hyperplans of orthogonal reflections in O+(II2,26)). Many examples were constructed by Borcherds, and Nikulin has proved there is, in principle, only a finite number of reflective modular forms. Gritsenko and Nikulin classified reflective modular forms in the case of maximal lattices of signature (1,2) (1998-2002). Other important examples of reflective forms of singular weight were constructed by N. Scheithauer (2000 - 2005). The classification of reflective modular forms is a very important question, such forms have many applications in different fields of mathematics and physics : in the theory of Kac-Moody algebras, in algebraic geometry, in string theory... In this thesis, we describe a new class of reflective forms related to the Borcherds’function [Phi]12. The signature of the orthogonal groups we consider goes between (2,3) and (2,25). All the forms we obtain are quasi pull-back of [Phi]12. This arithmetic method gives more than 60 reflective modular forms, the first of them being the Siegel modular form of weight 35 constructed by Igusa in 1964.


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Informations

  • Détails : 1 vol.(III-150 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 149-150. 32 réf.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université des sciences et technologies de Lille (Villeneuve d'Ascq, Nord). Service commun de la documentation.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 50376-2009-35
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