Etude différentielle des formes fractales

par Hicham Bensoudane

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Marc Neveu.

Soutenue en 2009

à Dijon .


  • Résumé

    Le cadre de cette thèse concerne l’application du modèle IFS à la modélisation géométrique. L’objectif est d’aborder les problèmes liés à la modélisation et la reconstruction d’objets composées de zones lisses et de zones rugueuses, telles que des objets d’art. Suivant la nature des objets, des applications et des traitements à réaliser, les modèles utilisés diffèrent : formes à pôles et courbes et surfaces de subdivisions pour les objets lisses, modèles fractals pour les objets rugueux. La problématique que nous posons est d’étudier la possibilité d’avoir un modèle unifiant l’ensemble de ces modèles. Nous proposons une méthode permettant d’étudier les propriétés différentielles des courbes et surfaces fractales définies par le modèle IFS. Cette étude est basée sur la notion de dérivée fractionnaire locale et de procédé itératif de construction des formes définies par le modèle IFS. La méthode de calcul de la dérivée que nous proposons permet de déterminer le comportement différentiel des courbes et des surfaces fractales: d’une part, nous utilisons le calcul des vecteurs tangents pour modéliser des courbes et surfaces composées de zones lisses et de zones rugueuses, d’autre part, nous utilisons le calcul de l’ordre critique de dérivation pour déduire le degré de rugosité des courbes et surfaces fractales. Ainsi, nous introduisons deux nouvelles méthodes: la première permet de construction des courbes et surfaces par morceaux et qui sont fractales et lisses à la fois; la deuxième permet de calculer la dimension fractale et le coefficient de Hölder.

  • Titre traduit

    Differential study of fractal forms


  • Résumé

    The framework of this thesis concerns the application of the IFS model to the geometric modeling. The aim is to treat the problems related to modeling and reconstruction of objects composed of smooth areas and rough areas, such as works of art. Depending on the nature of objects, applications and treatments to achieve, the models used differ : polar forms and subdivisions curves and surfaces for smooth objects, fractal models for rough objects. The problem that we pose is to explore the possibility to get a model unifying all these models. We propose a method to study the differential properties of fractal curves and surfaces defined by the IFS model. This study is based on the concept of local fractional derivative and of an iterative process of building the shapes defined by the IFS model. The method that we propose to calculate local fractional derivative allows to determine the differential behaviour of fractal curves and surfaces : on the one hand, we use the calculation of tangents vectors to model curves and surfaces composed of smooth areas and rough areas. Secondly, we use the calculation of the critical order of derivation to infer the degree of roughness of fractal curves and surfaces. Thus, we introduce two new methods : the first allows the construction of piecewise curves and surfaces that are fractal and smooth at the same time ; the second is used to compute the fractal dimension and Hölder exponent.

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Informations

  • Détails : 1 vol.(127 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 123-127, [65] réf.

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  • Bibliothèque : Université de Bourgogne. Service commun de la documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TDDIJON/2009/51
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