Résolution de programmes quadratiques en nombres entiers

par Amélie Lambert

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Sourour Elloumi et de Alain Billionnet.

Soutenue en 2009

à Paris, CNAM .


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  • Titre traduit

    Solution of integer quadratic


  • Résumé

    La minimisation d'une fonction quadratique non convexe dont les variables doivent prendre des valeurs entières et satisfaire des contraintes linéaires est un problème général et fondamental qui permet de modéliser des applications dans des domaines variés. Nous le notons QP. Cette thèse propose plusieurs méthodes pour résoudre QP de façon exacte, en le reformulant par un problème équivalent pouvant être soumis à un solveur. Nous proposons d'abord deux types de reformulations linéaires. La première est fondée sur la linéarisation du produit de deux variables booléennes et la deuxième, sur la linéarisation du produit d’une variable entière par une variable booléenne. La comparaison théorique de ces reformulations montre que la deuxième, qui aboutit à un programme mathématique de plus petite taille, est la plus intéressante. Puis, nous étudions des reformulations quadratiques convexes de QP. Nous proposons un schéma original permettant de construire une famille de problèmes quadratiques convexes équivalents à QP. Nous montrons comment déterminer, par la programmation semidéfinie, la meilleure reformulation de cette famille, au sens de sa relaxation continue. Nous montrons que cette convexification constitue une amélioration des convexifications existantes pour les problèmes 0-1. Nous étendons ces résultats aux problèmes en variables mixtes. Nous proposons aussi un algorithme de Branch & Bound, fondé sur une propriété de projection entre polyèdres, pour résoudre QP après l’avoir reformulé de façon convexe. Enfin, nous présentons des résultats expérimentaux montrant que la reformulation quadratique est efficace sur des problèmes ayant plusieurs dizaines de variables.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (149 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 109-111

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  • Bibliothèque : Conservatoire national des arts et métiers (Paris). Bibliothèque Centrale.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : Th A 665
  • Bibliothèque : Conservatoire national des arts et métiers (Paris). Bibliothèque Centrale.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : Th A 665 double
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