Sur la structure des noyaux sauvages étales des corps de nombres

par Luca Caputo

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Roberto Dvornicich et de Jean-François Jaulent.

Le jury était composé de Andrea Bandini, Abbas Chazad Movahhedi.


  • Résumé

    Le but de ce travail est de présenter des résultats à propos des noyaux sauvages étales. Soit $p$ un nombre premier. Les noyaux sauvages étales d'un corps de nombres $F$ (qui sont dénotés par $WK^{ét}_{2i}(F)$ avec $i\in \mathbb{Z}$) sont des généralisations cohomologiques de la $p$-partie du noyau sauvage classique $WK_{2}(F)$, qui est le sous-groupe de $K_2(F)$ constitué par les symboles qui sont triviaux pour tout symbole de Hilbert local. Ces noyaux sauvages étales sont des $\mathbb{Z}_p$-modules et l'on sait qu'ils sont finis lorsque $i\geq 1$ (et même, suivant les conventions, si $i=0$) : on conjecture en plus qu'ils soient toujours finis (conjecture de Schneider). Dans la suite, on va supposer que cette conjecture est satisfaite. On va s'intéresser en particulier à deux problèmes. Le premier, qui est étudié dans les Chapitres 2 et 3, est la déterminations des structures de groupe qui sont réalisables comme noyaux sauvages étales. En d'autres termes, si l'on se donne un corps de nombres $F$, un $p$-groupe abélien fini $X$ et un nombre entier $i\in\mathbb{Z}$, on peut se demander s'il existe une extension finie $E/F$ telle que $WK^{ét}_{2i}(E)\cong X$. Une question semblable a été étudiée pour les $p$-groupes des classes et il y a un relation précise entre les $p$-groupes des classes et les noyaux sauvages étales. Par conséquent, on peut espérer traduire les résultats classiques dans le contexte des noyaux sauvages étales. Peut-être est-il intéressant de donner ici une courte récapitulation sur le problème de réalisation classique pour les $p$-groupes des classes. Essentiellement, deux techniques sont utilisées. D'un coté, pour un corps de nombres $F$ fixé, l'on étudie la $p$-tour des corps des classes de Hilbert de $F$ : Yahagi a montré que cette tour est infinie si et seulement s'il n'y a pas d'extensions finies $E/F$ dont le $p$-groupe des classes soit trivial. De plus, si la tour est finie, alors toute structure de $p$-groupe abélien apparaît comme $p$-groupe des classes pour quelque extension finie $E/F$. De l'autre coté, une fois que l'on sait que pour un corps de nombres $F$ fixé, il existe une extension finie dont le $p$-groupe de classes est trivial, alors on peut se servir de la théorie du corps des classes et de la théorie des genres pour trouver, pour n'importe quel $p$-groupe abélien fini $X$, une extension finie $E/F$ telle que le $p$-groupe des classes de $E$ est isomorphe à $X$. En effet, la traduction du résultat de Yahagi dans le contexte des noyaux sauvages étales n'est pas tout à fait immédiate : la relation entre le groupe des classes et le noyau sauvage étale d'un corps de nombres $F$ s'écrit dans le langage de $\Gamma$-modules, où $\Gamma$ est le groupe de Galois sur $F$ de la $\mathbb{Z}_p$-extension cyclotomique de $F(\mu_p)$. La façon la plus naturelle pour s'approcher du problème est donc de considérer le problème de réalisabilité pour les modules d'Iwasawa. Ce problème a été étudié (parmi d'autres auteurs) par Ozaki : il a montré que pour tout $\Lambda$-module fini $X$, il existe un corps de nombres $k$ tel que le module d'Iwasawa de $k$ (c'est à dire la limite projective des $p$-groupes des classes le long de la tour cyclotomique) est isomorphe à $X$. Les techniques utilisées sont inspirées à celles de Yahagi et en fait elles s'appuient d'une façon fondamentale du fait que $p$ ne divise pas le nombre des classes de $\mathbb{Q}$. Pour obtenir la traduction de ce résultat en termes de noyaux sauvages étales il faut considérer plutôt $\mathbb{Q}(\mu_p)$ -plus précisément un sous-corps convenable de $\mathbb{Q}(\mu_p)$. Bien entendu, le nombre des classes de ce sous-corps n'est plus premier avec $p$ (du moment que $p$ peut être irrégulier). D'autre part, si $p$ est régulier, la preuve d'Ozaki peut être adaptée (comme l'on montre dans le Chapitre 2).


  • Résumé

    The aim of the present work is to prove some results about étale wild kernels. Let $p$ be an odd prime. Etale wild kernels of a number field $F$ (which are denoted $WK^{ét}_{2i}(F)$ for $i\in \mathbb{Z}$) are cohomological generalizations of the $p$-part of the classical wild kernel $WK_{2}(F)$, which is the subgroup of $K_2(F)$ made up by symbols which are trivial for any local Hilbert symbol. Etale wild kernels are $\mathbb{Z}_p$-modules which are known to be finite if $i\geq1$ (and even if $i=0$, depending on the chosen convention): actually they are conjectured to be always finite (the Schneider conjecture). In the following we will suppose that this is always the case. Two problems are studied in detail. The first, which is analyzed in Chapter 2 and Chapter 3, is to determine which group structures are realizable for étale wild kernels. In other words, given a number field $F$, a finite abelian $p$-group $X$ and $i\in \mathbb{Z}$, one can ask if there exists a finite extension $E/F$ such that $WK^{ét}_{2i}(E)\cong X$. A similar problem has been studied for $p$-class groups and there are precise relations between the $p$-class group and étale wild kernels. Therefore one may expect to translate results from $p$-class groups to étale wild kernels. It is maybe useful to give here a short account on the classical realizability problem for $p$-class groups. Essentially two kind of techniques are used. On the one hand, for a fixed number field $F$, one studies the Hilbert $p$-class field tower of $F$: it has been shown by Yahagi that the Hilbert $p$-class tower of $F$ is infinite if and only if there is no finite extension $E/F$ whose $p$-class group is trivial. Furthermore, if the Hilbert $p$-class tower of $F$ is finite, then every finite abelian $p$-group structure appears as $p$-class group of some finite extension $E/F$. On the other hand, once we know that for a fixed number field $F$ there exists a finite extension whose $p$-class group is trivial, then class field theory and genus theory are used to exhibit, for any finite abelian $p$-group $X$, a finite extension $E/F$ such that the $p$-class group of $E$ is isomorphic to $X$. Actually, the translation of Yahagi's result in terms of étale wild kernels is not immediate: the relation between the class groups and étale wild kernels of a number field $F$ is expressed in terms of $\Gamma$-modules structures, where $\Gamma$ is the Galois group over $F$ of the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension of $F(\mu_p)$. The most natural way to approach the problem is then to consider the realizability problem for Iwasawa modules. This problem is studied (among many others) by Ozaki: he proved that for any finite $\Lambda$-module $X$, there exists a number field $k$ such that the Iwasawa module of $k$ (i.e. the projective limit of $p$-class groups along the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension) is isomorphic to $X$. The techniques used are inspired to those by Yahagi and actually Ozaki makes fundamental use of the fact that $p$ does not divide the class number of $\mathbb{Q}$. To get the translation of this result in terms of étale wild kernels one has to consider $\mathbb{Q}(\mu_p)$ -more precisely a suitable subfield of $\mathbb{Q}(\mu_p)$ depending on $i$- instead of $\mathbb{Q}$. Here the problem is that the class number of this suitable subfield is no more coprime with $p$ (as $p$ may be irregular). If this is not the case anyway, the proof of Ozaki can be adapted as it is shown in Chapter 2.


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