Étude de modèles mathématiques pour les suprafluides et la condensation dans un gaz

par Émilien Tarquini

Thèse de doctorat en Sciences. Mathématiques

Sous la direction de Alberto Farina.

Soutenue en 2009

à Amiens .


  • Résumé

    Ce mémoire de thèse porte sur l'existence, la non-existence et l'étude des propriétés qualitatives des solutions de l'équation de Gross-Pitaevskii soumise ou non à un potentiel, ainsi que celles de différents systèmes faisant intervenir l'équation de Gross-Pitaevskii. L'équation de Gross-Pitaevskii est un modèle pour l'étude de la suprafluidité, les condensats de Bose-Einstein, la supraconductivité ou encore l'optique non linéaire. On s'intéresse dans un premier temps aux ondes progressives solutions de l'équation de Gross-Pitaevskii, et en particulier à l'existence d'une borne inférieure de l'énergie qui lui est associée. Ensuite on considère l'équation de Gross-Pitaevskii soumise à un potentiel répulsif. Pour cette équation, qui modélise l'écoulement d'un fluide autour d'un obstacle immobile, on étudie les ondes solitaires pour lesquelles on démontre l'existence d'une borne universelle optimale, des résultats d'existence et de non-existence. Nous étudions aussi le comportement asymptotique à l'infini des ondes d'énergie finie. Dans la troisième partie, on s'intéresse à différents systèmes faisant intervenir l'équation de Gross-Pitaevskii. En particulier divers résultats d'existence et non-existence pour les ondes solitaires (et leurs généralisations) sont prouvés.

  • Titre traduit

    Study of mathematical models for the superfluids and gas condensation


  • Résumé

    This PhD thesis is devoted to the existence, non-existence and to the study of qualitative properties of solutions of the Gross-Pitaevskii equation in the presence of a potential or not, as well as those of different systems involving the Gross-Pitaevskii equation. The Gross-Pitaevskii equation is a model for studying the superfluidity, the Bose-Einstein condensates, the superconductivity, or the non-linear optics. First we focus on traveling wave solutions of the Gross-Pitaevskii equation, and in particular we prove the existence of a lower bound of the energy associated with it. Then we consider the Gross-Pitaevskii equation submitted to a repulsive potential. For this equation, which models the flow of a fluid around a stationary obstacle, we study solitary waves and we demonstrate the existence of a sharp universal bound, as well as some existence and non-existence results. We also study the asymptotic behavior at infinity of finite energy solutions. In the third part, we study different systems involving the Gross-Pitaevskii equation. In particular, we obtain various results about the existence and the non-existence for solitary waves and their generalizations.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (97 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 94-97

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  • Bibliothèque : Université de Picardie Jules Verne. Bibliothèque universitaire. Section Sciences.
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  • Cote : T 51 2009-18
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