Propriétés asymptotiques des corps globaux

par Alexey Zykin

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Michael A. Tsfasman et de Serge G. Vlăduț.

Soutenue en 2009

à Aix Marseille 2 .


  • Résumé

    Deux parties principales constituent le sujet de cette thèse. La première partie est consacrée à l'étude des propriétés asymptotiques des fonctions zêta, des fonctions L, des corps globaux et des variétés sur ces corps. Dans le premier chapitre, nous démontrons une généralisation du théorème de Brauer-Siegel au cas des suites de corps presque normaux. Dans le deuxième chapitre, nous étudions le comportement asymptotique des dérivées logarithmiques des fonctions zêta dans des familles de corps globaux. Dans le troisième chapitre, nous donnons un panorama des généralisations du théorème de Brauer-Siegel classique. Dans le même chapitre nous démontrons une version du théorème de Brauer-Siegel pour les variétés sur les corps finis. Le quatrième chapitre est consacré à l'étude de la distribution des zéros des fonctions L des formes modulaires. Dans le cinquième chapitre, nous étudions des propriétès asymptotiques des familles de fonctions zêta et de fonctions L sur les corps finis dans le contexte des trois problèmes suivants : l'inégalité principale, les résultats de type Brauer-Siegel et la distribution des zéros. Le but de la deuxième partie est d'obtenir une caractérisation des jacobiennes parmi les variétés abéliennes principalement polarisées de dimension 3; ce qui fournit une réponse à une question de J. -P. Serre. Nous obtenons aussi une nouvelle démonstration de la formule de Klein qui relie une certaine forme modulaire de Siegel au discriminant des quartiques planes.

  • Titre traduit

    Asymptotic properties of global fields


  • Résumé

    There are two main parts in this thesis. The first part is devoted to the study of asymptotic properties of zeta functions, L-functions, global fields and varieties over these fields. In the first chapter, we prove a generalization of the Brauer-Siegel theorem to the case of families of almost normal number fields. In the second chapter, we study the asymptotic behaviour of the logarithmic derivatives of zeta functions in families of global fields. In the third, chapter we give an overview of possible generalizations of the classical Brauer-Siegel theorem. In the same chapter, we prove a version of the Brauer-Siegel theorem for varieties over finite fields. The fourth chapter is devoted to the study of the distribution of zeroes of L-functions of modular forms. In the fifth chapter, we study the asymptotic properties of families of zeta and L-functions over finite fields in the context of the following problems : the basic inequality, the results of the Brauer-Siegel type and the distribution of zeroes. The aim of the second part is to obtain a characterization of Jacobians among principally polarized abelian varieties of dimension 3; which gives an answer to a question asked by J. -P. Serre. We also obtain a new proof of Klein's formula which connects a certain Siegel modular form to the discriminant of plane quartics.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (95 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p.91-95

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  • Bibliothèque : Université Aix-Marseille (Marseille. Luminy). Service commun de la documentation. Bibliothèque de sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 48691
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