Moyennes ergodiques sur des domaines à symétrie sphérique

par François Havard

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Emmanuel Lesigne.

Soutenue le 23-06-2008

à Tours , dans le cadre de Ecole doctorale Santé, sciences, technologies (Tours) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques et physique théorique (Tours) (équipe de recherche) .

Le président du jury était Léonard Gallardo.

Le jury était composé de Jérôme Depauw, Sebastien Ferenczi.

Les rapporteurs étaient Claire Anantharaman, Yves Derriennic.


  • Résumé

    Ous étudions dans cette thèse la convergence de moyennes ergodiques associées à des actions des groupes multidimensionnels Zd et Rd. Dans la première partie, nous considérons une action de Rd préservant la mesure sur un espace probabilisé, et nous étudions les moyennes ergodiques sur des couronnes de l'espace euclidien. Le point central est la description du domaine de validité des inégalités maximales. Le cas classique des boules et le cas singulier des sphères sont bien connus. Dans notre situation intermédiaire, nous établissons un théorème de dichotomie : les moyennes sur les couronnes se comportent soit comme dans le cas des boules, soit comme dans le cas des sphères. Dans la seconde partie, nous considérons une action de Zd et nous décrivons le comportement des moyennes ergodiques prises sur l'ensemble des points à coordonnées entières des sphères euclidiennes. Pour l'essentiel, nous proposons un exposé détaillé du théorème ergodique ponctuel dû à Magyar.

  • Titre traduit

    Ergodic means on spherical domains


  • Résumé

    We study in this thesis the convergence of ergodic means associated to Zd or Rd group actions. In a first part, we consider an Rd measure preserving action and we study ergodic means over annulus of the Euclidean space. The central point is the description of the domain of validity of maximal inequalities. The classical case of balls and the singular case of spheres are well known. In our intermediate situation we obtain a dichotomy theorem : either the means on annulus obey the same law as the means on balls, or they obey the same law as the means on spheres. In the second part, we consider a Zd action and we describe the behavior of ergodic means taken on the integral points of euclidean spheres. We propose a detailed presentation of a theorem due to Magyar.


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