Correspondances de Schensted-Fomin algèbres de Hopf et graphes gradués en dualité

Schensted-Fomin correpondences Hopf algebras and graph duality

• Auteur / Autrice : Janvier Nzeutchap
• Direction : Florent Hivert
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Rouen

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbres de Hopf

Suite de Fibonacci

Dualité onde-corpuscule

Mots clés libres

Graphe gradué

Schensted-Formin

Young-Fibonacci

Tableau Hèdre

Résumé

On montre l'existence de graphes gradués en dualité dans des algèbres de Hopf combinatoires usuelles, et on établit un lien formel entre dualité d'algèbres de Hopf et dualité de graphes gradués. On redéfinit la correspondance de Young-Fibonacci due à Roby, la faisant coïncider naturellement avec l'approche Fomin par les diagrammes de croissance. On définit aussi un ordre partiel sur les tableaux de Young-Fibonacci. Cet ordre qui correspond à l'écrasement du permutohèdre sur les classes d'équivalence Fibonacci, permet d'interpréter les nombres de Kostka-Fibonacci, dans l'algèbre d'Okada associée au graphe de Young-Fibonacci. On interprète de même les nombres de Kostka usuels, à l'aide d'un ordre partiel sur les tableaux de Young. Enfin, motivé par un travail récent de Taskin, on s'intéresse à la construction d'un poset de tableaux de Yamanouchi, caractérisant les produits de tableaux de Young. On espère obtenir un algorithme efficace pour multiplier deux fonctions de Schur.

We have identified many examples of combinatorial Hopf algebras in which graph duality arises, and we have described a canonical construction to obtain a dual graded graph from any pair of dual combinatorial Hopf algebras. We have redefined the Young-Fibonacci insertion algorithm of Roby, in such a way that it naturally coincides with Fomin's approach using growth diagrams. We have provided the set of Young-Fibonacci tableaux of size n with astructure of graded poset called tableauhedron. This poset gives a combinatorial interpretation of the Kostka-Fibonacci numbers in Okada's algebra associated to the Young-Fibonacci lattice. A similar result relates usual Kostka numbers with four partial orders on Young-tableaux. We are also interested in the study of a poset of Yamanouchi tableaux, arising from the product of Young tableaux. It would give rise to an algorithm for the product of Schur functions, and the computation of Littlewood-Richardson coefficients.