Comportements asymptotiques des processus stationnaires et des processus empiriques dans des systèmes dynamiques

par Olivier Durieu

Thèse de doctorat en Mathématiques. Probabilités

Sous la direction de Dalibor Volny et de Philippe Jouan.

Soutenue en 2008

à Rouen .


  • Résumé

    Cette thèse se consacre à l'étude de théorèmes limites pour des suites de variables aléatoires stationnaires (en particulier issues d'un système dynamique). Nous nous concentrons sur deux résultats importants, notamment par leurs applications en statistiques. Nous étudions tout d'abord le comportement limite des sommes de variables aléatoires, plus précisément le théorème limite central et son principe d'invariance. Ensuite nous considérons le principe d'invariance pour les processus empiriques. Dans le cadre du principe d'invariance faible de Donsker, plusieurs résultats s'obtiennent au travers d'approximations par des martingales et plus généralement par des critères projectifs. Nous comparons quatre de ces critères et montrons leur indépendance mutuelle. Les critères étudiés sont la décomposition martingale-cobord (Gordin, 1969), la condition de Hannan (1979), le critère de Dedecker et Rio (2000) et la condition de Maxwell et Woodroofe (2000). En ce qui concerne le comportement asymptotique des processus empiriques, nous établissons un principe d'invariance dans le cas des automorphismes du tore. Cela permet de sortir du cadre hyperbolique connu et d'obtenir un premier résultat pour une transformation partiellement hyperbolique. Nous proposons également une nouvelle approche, basée sur des méthodes d'opérateurs, permettant d'établir un principe d'invariance empirique. Cette méthode s'applique en particulier aux cas où l'on a de bonnes propriétés pour une classe de fonctions ne contenant pas les fonctions indicatrices. C'est en particulier le cas de certains systèmes dynamiques dont l'opérateur de transfert admet un trou spectral. En dernier lieu, suivant une question de Burton et Denker (1987), nous nous intéressons à la classe des processus pour lesquels le théorème limite central a lieu. En référence au cadre des processus empiriques, nous étudions en particulier les suites de sommes partielles des itérées d'une fonction indicatrice.


  • Résumé

    The aim of this thesis is the study of limit theorems for stationary sequences of random variables (in particular, from dynamical system). We concentrate on two results which are important by their applications in statistics. We first study the asymptotique behavior of sums of random variables, precisely the central limit theorem and its invariance principles. We also consider the invariance principle of empirical processes. For the Donsker's weak invariance principle, many results can be obtained by martingale approximations and more generaly by projective criteria. We compare four of these criteria and we show that they are independent of each other. These criteria are the martingale-coboundary decomposition (Gordin, 1969), the Hannan condition (1979), the Dedecker and Rio criterion (2000) and the Maxwell-Woodroofe condition (2000). Concerning the asympotic behavior of empirical processes, we establish an invariance principle in the case of toral automorphisms. This permits to generalize the known hyperbolic case and to find a first result for a partially hyperbolic transformation. We also propose a new approach, based on operator techniques, for establishing an invariance principle. This technique is well adapted to cases when we only have good properties for a class of functions not containing the indicators. In particular, this is the case for some dynamical systems for which the transfer operator admits a spectral gap. At the end, following a question by Burton and Denker (1987), we are interested in the class of processes for which the central limit theorem holds. To refer to the empirical processes case, we study in particular the sequences of partial sums of iterates of indicator functions.

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Informations

  • Détails : 157 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. 93 réf.. Contient des articles en anglais

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université de Rouen. Service commun de la documentation. Section sciences site Madrillet.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 08/ROUE/S022
  • Bibliothèque : Laboratoire de mathématiques Raphae͏̈l Salem. Bibliothèque de recherche en mathématiques.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : DUR 16345
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