Conditions de compatibilité en mécanique des solides : Méthode de Darboux

par Danielle Léonard-Fortuné

Thèse de doctorat en Mécanique des solides, des matériaux, des structures et des surfaces

Sous la direction de Claude Vallée.

Soutenue en 2008

à Poitiers .


  • Résumé

    Le fil conducteur est celui des conditions de compatibilité des systèmes aux dérivées partielles de la Mécanique des Solides Déformables. L’idée initiale, présentée dans l’ouvrage de Gaston Darboux sur la théorie générale des surfaces, est reprise. Elle consiste à remplacer les symboles de Christoffel par des vecteurs appelés vecteurs de Darboux. Ces vecteurs sont associés à des rotations de la même manière qu’un vecteur rotation instantanée est mis en évidence lors de l’étude du mouvement d’un solide rigide. Les conditions de compatibilité en grandes déformations sont ainsi revisitées à la Darboux. Deux systèmes aux dérivées partielles découplés permettent d’obtenir le déplacement du milieu déformé en deux intégrations successives. L’étude de la nature tensorielle des objets exhibés montre la validité de nos concepts. Une étude inédite des variétés riemanniennes de dimension 3 de même courbure que la sphère est développée. De même, la théorie des surfaces est revue en introduisant les vecteurs de Darboux. La reconstruction d’une surface connaissant ses deux formes fondamentales est proposée conformément au théorème de Bonnet. L’étude particulière d’une surface minimale conduit à un processus de construction effectif à partir de la connaissance du bord. La notion de surface minimale soeur est dégagée, deux exemples sont présentés. Enfin l’équivalence entre l’annulation du tenseur de courbure de Riemann-Christoffel dans une coque et les conditions de Gauss-Codazzi-Mainardi sur sa surface moyenne est établie. Des perspectives, regardant le solide rigide comme une variété riemannienne de dimension 6, sont évoquées.

  • Titre traduit

    Compatibility conditions in solids mechanics, Darboux method


  • Résumé

    The compatibility conditions, associated with partial differential equation of deformable bodies, are used as a guideline of the present work. The basic idea, first presented by Darboux in the context of the general theory of surfaces, consists in replacing the Christoffel symbols by vectors called the Darboux vectors. These vectors are related to rotations in a similar way as the instantaneous rotation vectors in rigid body dynamics. The compatibility conditions are revisited here in the framework of large strain. Two systems of decoupled partial differential equation allow to obtain the displacement of the deformed body by successive integrations. Our results show the validity of the developed tools. An original investigation of threedimensional Riemann manifolds, with the same curvature as a sphere, is carried out. The theory of surfaces is also studied by introducing the Darboux vectors. A surface is rebuilt from his two fundamental forms in accordance with the Bonnet theorem. The particular study of a minimal surface leads to an efficient building process from the knowledge of the boundary. A new concept, called sister minimal surface, is introduced and its application is developed in the case of two examples. Finally the equivalence between the cancellation of the Riemann-Christoffel curvature tensor in a shell and the Gauss-Codazzi-Mainardi conditions on its mean surface is established. Further developments of the present work would be concerned with the rigid body, treated as a six-dimensional Riemann manifold.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe sous forme papier

Informations

  • Détails : 1 vol. (253 p.)
  • Annexes : Bibliogr. 125 réf.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université de Poitiers. Service commun de la documentation. Section Sciences, Techniques et Sport.
  • Non disponible pour le PEB
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.