Quantification de variables conjuguées par états cohérents

par Pedro Lenin García de León

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Jean-Pierre Gazeau et de Jean-Yves Thibon.

Soutenue le 07-07-2008

à Paris Est , dans le cadre de Information, Communication, Modélisation et Simulation , en partenariat avec Laboratoire d'Informatique de l'Institut Gaspard-Monge (IGM LabInfo) (laboratoire) .

Le jury était composé de Jean-Pierre Gazeau, Jean-Yves Thibon, Hervé Bergeron, Florent Hivert, Kurt Bernardo Wolf, Jacques Renaud.

Les rapporteurs étaient Hervé Bergeron, Florent Hivert, Kurt Bernardo Wolf.


  • Résumé

    Dans ce travail on se concentre sur une méthode alternative de quantification a travers des états cohérents. La méthode canonique associe un pair de variables conjuguées classiques et identifie leur crochet de Poisson au commutateur quantique de ses observables quantiques correspondantes. Les observables sont définies comme des opérateurs auto-adjoints agissant sur un espace de Hilbert particulier. Leurs valeurs physiques se trouvent dans leur résolution spectrale, et pourtant sont liés à une mesure à valeur projection (PV). Néanmoins, il existe un empêchement lorsqu’on impose des bornes sur les ces spectres. Cette restriction sur la définition des opérateurs est décrite par un théorème de W. Pauli et ouvre la voie vers la définition de méthodes alternatives de quantification. La quantification par états cohérents propose une définition d’observable quantique qui prend des valeurs à travers la valeur moyenne sur une famille « cohérente » non-orthogonale et surcomplète de vecteurs dans l’espace de Hilbert. Les états cohérents définis à cet effet partagent avec ceux de oscillateur harmonique la propriété d’être des résolutions de l’identité et d’être parametrisés par un indice discret et une variable complexe. Ceci les rend particulièrement utiles pour « traduire » des variables classiques en opérateurs quantiques bien définis. On a étudié trois cas particuliers ou la définition d’opérateurs auto-adjoints est compromise. En premier on propose une définition de l’opérateur de phase, correspondant à l’angle conjugué à l’action classique. En deuxième place on étudie la quantification du mouvement dans un puits infini de potentiel, notamment, l’opérateur d’impulsion problématique est défini proprement. Finalement ont propose un opérateur temps, conjugué au Hamiltonien, pour une particule libre en utilisant des états cohérents de type SU(1,1) sur des demi plans de Poincaré

  • Titre traduit

    Coherent state quantization for conjugated variables


  • Résumé

    In this work we focus on an alternative quantization method using generalized coherent states. The canonical method associates a pair of conjugated classical variables to their corresponding quantum observables identifying their Poisson bracket to a quantum commutator. These obervables, defined as self-adjoint operators acting on a particular Hilbert space, find their values in their spectral resolution an thus are linked to a Projection Valued (PV) measure. But there is an obstacle on the operator definition once we apply boundaries to the spectra. This restriction , described in a theorem by W. Pauli rises the question on the need of an alternative way of defining observables and opens the way to a new quantization protocol. Coherent state quantization proposes a quantum observable definition taking values through the mean value on a set of "coherent" non-orthogonal, overcomplete vectors in the Hilbert space H. These coherent states resolve the identity in H and are parametrized by a discrete parameter and a complex variable just as their homonyms for the harmonic oscillator. This last property makes them particularly useful to "translate" classical variables into well defined quantum operators. We have studied three particular cases where the self-adjoint operator definition is compromised. In first place we worked in a phase operator definition, corresponding to the angle-action classical pair. An example on how this idea could be extended to relative phases for the SU(N) group is given. The second example is the quantization of movement in an infinite well potential. Here the problematic momentum operator is defined properly. Finally we propose a time operator, conjugated to the Hamiltonian, for a free particle using SU(1,1) type coherent states on Poincaré half-planes


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