Problèmes pseudo-paraboliques à vitesse asservie : Application en prospection pétrolière

par Amar Mokrani

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Gérard Gagneux et de Robert Luce.

Soutenue en 2008

à Pau .


  • Résumé

    Les travaux de la thèse portent sur un modèle mathématique élaboré au sein de l'Institut Français du Pétrole (IFP) et concernent l'évolution, dans un bassin sédimentaire, des strates monolithologiques sous la contrainte d'un taux d'érosion maximal. On est conduit à considérer un modèle gravitaire où le flux de sédiments est proportionnel au gradient de la topographie, suivant une loi dynamique de type Darcy-Barenblatt, moyennant un coefficient de diffusion qui joue le rôle d'un limiteur du flux, afin de satisfaire une condition d'asservissement sur le taux d'érosion. Il s'agit de rendre compatibles un processus de transport gravitaire pour la sédimentation et un mécanisme couplé d'érosion asservi, par auto-régulation. Après une brève présentation de ce modèle « weather limited », nous montrons l'intérêt d'employer une méthode de compacité qui, via un résultat d'unicité pour un problème stationnaire non linéaire non standard, prouve que notre problème admet au moins une solution. Une étude qui permet d'obtenir, pour le schéma semi-discrétisé, un résultat d'existence au problème modélisant une régulation du flux via un opérateur maximal monotone, en l'occurrence, le graphe de Heaviside. Par une approche alternative, s'appuyant sur les résultats classiques de N. G. Meyers et J. Necas, il est possible de montrer l'existence d'une solution plus régulière en espace et ainsi justifier l'unicité de cette dernière pour une topographie initiale pas trop accidentée. Nous développons ensuite des propriétés locales pour les solutions faibles ainsi qu'une propriété de vitesse finie de propagation (aspect hyperbolique) par des méthodes d'énergie. En outre, nous élaborons quelques simulations numériques qui illustrent l'étude théorique où l'on met en valeur l'influence des différents paramètres d'état qui interviennent dans les équations. Enfin, quelques conclusions et perspectives sont présentées dans ce champ de recherche, notamment dans celui des solutions entropiques, qui est largement ouvert à l'investigation.


  • Résumé

    This work deals with the mathematical analysis of a model initially proposed by the “Institut Français du Pétrole” (IFP). It concerns the evolution of a monolithological sedimentary basin with a maximum rate of erosion. We are led to consider a gravitational model where the flux of sediments is proportional to the gradient of the topography, following a dynamic law of type Darcy- Barenblatt, with a constraint. Then, a multiplier is introduced, playing the role of a flux-limiter, in order to reconcile a process of gravitational transport for the sedimentation and a mechanism maximum of erosion by autogeneous regulation. After a short presentation of this model “weather limited”, we present a method of compactness, based on a result of uniqueness for a non-standard nonlinear stationary problem, proving that a solution exists to the problem. Then, a result of existence of a sequence of solutions to an implicit time-discretisation of a differential inclusion is proved. By an alternative approach, based on the classical results of N. G. Meyers and J. Necas, it is possible to give a result of existence and uniqueness of the solution to slightly different model, for a regular initial condition. Then, thanks to some energy methods, locally hyperbolic aspects are proved. Some numerical simulations are also proposed in order to illustrate the theoretical aspects of the study and the influence of the different parameters of the equation. Finally, some conclusions and perspectives are proposed.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (124 p.)
  • Annexes : Bibliographie p.121-124

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  • Bibliothèque : Université de Pau et des Pays de l'Adour. Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : US 464840
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