Construction et analyse de conditions absorbantes de type Diritchlet-to-Neumann pour des frontières ellipsoïdales

par Anne-Gaëlle Saint-Guirons

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Hélène Barucq.

Soutenue en 2008

à Pau .


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous proposons une nouvelle classe de conditions aux limites absorbantes locales de type DtN (ou Robin généralisées) à utiliser pour des frontières artificielles de forme elliptique (2D) ou sphéroïdale prolate (3D), c'est-à-dire adaptées à des obstacles de forme allongée. Ces nouvelles conditions absorbantes sont construites de façon à être exactes pour les premiers modes. Elles peuvent être facilement incorporées dans un code d'éléments finis tout en préservant la structure locale du système algébrique. De plus, comme elles sont adaptées à des obstacles allongés, elles permettent de prendre en compte un domaine de calcul plus petit, ce qui contribue à limiter les coûts numériques. Nous montrons que la condition DtN d'ordre 2 construite est performante en régime basse fréquence pour les problèmes de scattering 2D et 3D, dans le cadre d'une formulation On-Surface Radiation Condition (OSRC). Cette condition conserve sa précision quel que soit l'allongement de la frontière artificielle elliptique (2D) ou ellipsoïdale (3D). Pour des régimes de fréquences plus élevées, on étudie la formulation en volume du problème. On observe qu'il n'est pas nécessaire de trop éloigner la frontière pour avoir un bon niveau de précision, et tout particulièrement lorsque l'on considère la condition DtN d'ordre 2. Afin de préciser cette observation, nous avons mené une analyse haute fréquence pour mesurer l'amplitude des réflexions parasites générées par la frontière artificielle. On montre que le coefficient de réflexion associé à une famille de modes propagatifs tend vers 0 comme une puissance inverse de λka où λ exprime la distance entre l'obstacle et la frontière artificielle et ka désigne la fréquence. De plus, en choisissant une sous-classe particulière de modes, on affine ce résultat et on obtient que si l'excentricité est supérieure à 0. 5, le coefficient de réflexion tend vers 0 de façon exponentielle et ce résultat est valable pour toute la sous-classe de modes considérés, qu'ils soient propagatifs, rampants ou évanescents.

  • Titre traduit

    Construction and performance assessment of Dirichlet-to-Neumann absorbing conditions for ellipsoidal bounndaries.


  • Résumé

    New approximate local DtN boundary conditions are proposed to be set on elliptical- or prolate-spheroidal exterior boundaries when solving respectively two- or three-dimensional acoustic scattering problems by elongated obstacles. These new absorbing conditions are designed to be exact for the first modes. They can be easily incorporated in any finite element parallel code while preserving the local structure of the algebraic system. Moreover, since the proposed conditions are applicable to exterior elliptical-shaped boundaries that are more suitable for surrounding elongated scatterers, they yield to smaller computational domains which contributes to limit computational burden. In the low frequency regime, using an on-surface radiation condition formulation, we perform the mathematical and numerical analysis of the effect of the frequency and the eccentricity values of the boundary on the accuracy of these conditions, when applied for solving radiating and scattering problems (2D and 3D). It reveals - in particular - that the new second-order DtN boundary condition retains a very good level of accuracy regardless of the slenderness of the boundary. In the high frequency regime we study the volumic formulation of the problem. It shows that it is not necessary to consider a big computational domain around the scatterer to obtain accurate results with the new second-order local DtN condition. The high frequency analysis of the reflection coefficient shows that it tends to 0 for propagative modes and it converges exponentially towards 0 for a special class of propagative, grazing and evanescent modes.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (317 p.)
  • Annexes : Bibliographie p.313-317

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  • Bibliothèque : Université de Pau et des Pays de l'Adour. Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : US 465163
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