Etude mathématique de quelques modèles d'équations d'ondes sur des variétés équipées de métrique singulière

par Zakaria Hachemaoui

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Fabrice Planchon.

Soutenue en 2008

à Paris 13 .


  • Résumé

    Cette thèse s’inscrit dans une démarche de généralisation de nos acquis théoriques sur les équations d’ondes pour des classes d’opérateurs plus complexes tels les opérateurs à coefficients variables et non-elliptiques. Dans ce sens, la première partie est dédiée à l’étude de l’équation des ondes sur deux modèles de trou-noirs, à savoir la variété de Schwarzschild et celle de Reissner–Nordström à singularité nue. En utilisant un formalisme particulier, on aboutit à une estimation de Strichartz. Cette dernière nous permettra de démontrer un résultat d’existence locale pour des non-linéarités de type quadratique, ainsi qu’un résultat d’existence globale pour le problème critique de John, pour des données petites. Puis, nous étendons notre champ d’étude dans la seconde partie, à une équation de Schrödinger non-linéaire, et où le Hamiltonien est autorisé à dégénérer en des points isolés. Une adaptation de notre précédent formalisme, nous permettra d’obtenir une estimation de Strichartz qui prend en compte cette dégénérescence. Enfin, la dernière partie sera consacrée aux estimations de type Morawetz, sur deux exemples de variétés courbes ne vérifiant pas l’hypothèse de non capture des géodésiques. Nous démontrons ainsi, des estimations régularisantes locales en temps pour l’équation de Schrödinger posée dans ces deux contextes géométriques.

  • Titre traduit

    IOn wave and dispersive equations posed on manifolds with singular metric


  • Résumé

    The aim of this thesis is to generalize our theoretical knowledge on wave and dispersive equations for more abstract class of operators such the non-elliptical operators. In this sense, the first part is dedicated to the study of nonlinear wave equation on two black holes backgrounds. Using a particular formalism, one obtains a Strichartz estimate. This last estimate enables us to prove a local well-posedness of quadratic type of nonlinearities, and also a global well-posedness for the critical john problem with small data. Next, we expand our study to a nonlinear Schrödinger equation and where the associated Hamiltonian is authorized to degenerate in some given points. An adaptation of our previous formalism provides us a Strichartz estimate which takes into consideration this phenomenon. Finally, the last part is devoted to Morawetz type estimates, on two manifolds which does not satisfies the non capture assumptions of geodesics. We prove then, a local-in-time smoothing estimates for Schrödinger equation posed on this manifolds

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Informations

  • Détails : 1 vol. (168 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 163

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  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TH 2008 019
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