Orbites géométriquement minimisantes pour un homéomorphisme de l'anneau déviant la verticale : version non fibrée et fibrée

par Olivier Jaulent

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Patrice Le Calvez.

Soutenue en 2008

à Paris 13 .


  • Résumé

    Nous ´etudions une classe particuli`ere d’orbites, les orbites g´eom´etriquement minimisantes, d’un hom´eomorphisme de l’anneau d´eviant la verticale et exact-symplectique. Nous montrons que ces orbites joignent les deux bouts d’une r´egion d’instabilit´e d’un hom´eomorphisme exact-symplectique de l’anneau et g´en´eralisons un r´esultat de J. Mather. Dans le cas particulier des hom´eomorphismes du tore, les orbites g´eom´etriquement minimisantes ont un nombre de rotation vertical, ´egal `a la borne sup´erieure de l’intervalle de rotation. Ceci compl`ete des travaux de S. Addas-Zanata. Dans le cas d’un produit ��br´e en anneaux au-dessus d’une dynamique θ sur une base X compacte, nous montrons que si (X, θ) est minimal, l’absence de graphe invariant continu entraˆıne la diffusion au sens de Birkhoff, tandis que des graphes presque continus repr´esentent une obstruction lorsque (X, θ) est seulement transitif. Dans le cas o`u (X, θ) est transitif, la pr´esence d’un ph´enom`ene de diffusion au sens de Birkhoff entraˆıne la diffusion au sens de Mather.

  • Titre traduit

    Geometrically minimizing orbits for twist homeomorphisms of the annulus and of the annulus bundle


  • Résumé

    We study a particular class of orbits, geometrically minimizing orbits, of an exact-symplectic twist homeomorphism. We prove that these orbits join the ends of the regions of instability of an exact-symplectic twist homeomorphism generalizing a result of J. Mather. In the special case of torus homeomorphisms, we show that geometrically minimizing orbits have a vertical rotation number. We prove this number is the supremum of the rotation interval. This completes a work of S. Addas-Zanata. In the general case of an annulus bundle over a dynamical system (X, θ) on a compact set X, we show that if (X, θ) is minimal and if there is no continuous invariant graph, there exist drift orbits. On the contrary, when (X, θ) is only transitive, quasi-continuous graphs may prevent the existence of drift orbits. However, the existence of Birkhoff-like drift orbits implies the existence of orbits joining the ends regions of instability.

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Informations

  • Détails : 1 vol.( 156 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 153

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  • Bibliothèque : Université Paris 13 (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis). Bibliothèque universitaire.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : TH 2008 023
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