Contrôle et mélange pour des équations stochastiques de Ginzburg-Landau et Schrödinger

Control and mixing for the stochastic Ginzburg-Landau and Schrödinger equations

• Auteur / Autrice : Vahagn Nersesyan
• Direction : Armen Shirikyan
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équation de Schrödinger

Théorie ergodique

Processus de Markov

Mots clés libres

Equation de Ginzburg-Landau

Mélange polynomial

Méthode de couplage

Mélange exponentiel

Résumé

Cette thèse a pour objet l'étude des propriétés de contrôlabilité et de mélange pour des systèmes de Ginzburg-Landau et Schrödinger. Elle est divisée en trois parties. Dans la première partie, on étudie le problème d'ergodicité pour l'équation de Ginzburg-Landau complexe avec des perturbations aléatoires aux temps aléatoires. Le paramètre aléatoire est introduit par les perturbations et par les temps entre les perturbations. On montre que le processus de Markov associé à l'équation en question possède une unique mesure stationnaire et satisfait la propriété de mélange polynomial. La seconde partie porte sur le problème d'ergodicité des approximations fini-dimensionnelles de l'équation de Schrödinger. Le système est perturbé par un bruit multiplicatif scalaire. En utilisant la technique de couplage et un théorème sur les transformations des mesures, on montre que, sous des hypothèses naturelles sur le champs de vecteurs, le système en question admet une unique mesure stationnaire u sur la sphère unité S dans C^n, et que toutes les solutions convergent exponentiellement vers u en variation totale. Dans la troisième partie, on s'intéresse au problème de stabilisation pour l'équation de Schrödinger. On construit une loi u(z) qui force les trajectoires du système d'approcher faiblement dans H^2 de l'état propre. Ensuite on donne une application de notre résultat. On considère l'équationde Schrödinger avec un potentiel qui a une amplitude aléatoire dépendant du temps. On montre que si la distribution de l'amplitude est suffisamment non dégénérée, alors toute solution du système est presque sûrement non bornée dans les espaces de Sobolev.

This thesis aims to study the problems of controllability and mixing for systems of Ginzburg-Landau and Schrödinger. It is divided into three parts. We begin with the problem of ergodicity for the complex Ginzburg-Landau equation perturbed by an unbounded random kick-force. Randomness is introduced both through the kicks and through the times between the kicks. We show that the Markov process associated with the equation in question possesses a unique stationary distribution and satisfies aproperty of polynomial mixing. In the second part, we consider the finite-dimensional approximations of the Schrödinger equation. The system is driven by a multiplicative scalar noise. Using the coupling method and a measure transformation theorem, we show that, under some natural hypotheses on vector field, the system has a unique stationary measure u on the unit sphere S in C^n, and any solution converges exponentially fast to the measure u in the variational norm. The third part is devoted to the problem of stabilization of the Schrödinger equation. We construct a feedback law u(z),which forces the trajectories of system to approach the eigenstatein H^2-weak sense. Then we give an application of our result. We consider the Schrödinger equation with a potential which has a random time-dependent amplitude. We show that if the distribution of the amplitude is sufficiently non-degenerate, then any trajectory of system is almost surely non-bounded in Sobolev spaces.