Nombres d'intersection arithmétiques et opérateurs de Hecke sur les courbes modulaires X 0 (N)

Arithmetic intersection numbers and Hecke operators on the modular curves X 0 (N)

• Auteur / Autrice : Ricardo Menares
• Direction : Emmanuel Ullmo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Courbes elliptiques

Hecke, Opérateurs de

Arakelov, Théorie d'

Courbes modulaires

Résumé

Cette thèse s'inscrit dans l'étude des opérateurs de Hecke en tant que correspondances sur les courbes modulaires X_0(N). D'une part, nous étudions la relation entre l'algèbre de Hecke et la théorie d'Arakelov; d'autre part, nous entreprenons un début d'étude de la dynamique de l'action des opérateurs de Hecke sur l'ensemble des courbes elliptiques supersingulières. On considère la courbe modulaire munie de la métrique de Poincaré (métrique hyperbolique). Cette métrique présente des singularités aux points elliptiques et pointes. On suppose que N est sans facteurs carrés. On note XN le modèle entier de cette courbe donné par l'interprétation modulaire étudiée par Deligne et Rapoport. On définit un groupe de Chow arihmétique généralisé tel que ses éléments sont représentés par des couples (D,g) avec D un diviseur de Weil sur XN et g un courant de Green admissible pour la métrique de Poincaré. On note C ce groupe. J. -B. Bost et U. Kühn ont développé, de manière indépendante, des généralisations de la théorie d'intersection arithmétique d'Arakelov qui fournissent une forme bilinéaire à valeurs réelles sur C x C dans ce cadre où la métrique est singulière. On étudie aussi une version à coefficients réels et à équivalence numérique près de C, notée C_num. Nous montrons dans cette thèse que les correspondances de Hecke agissent sur C et que cette action est autoadjointe par rapport à la forme bilinéaire de Bost-Kühn. Ceci permet de diagonaliser cette action sur C_num et de définir ses sous-espaces propres. Ensuite nous étudions le faisceau dualisant relatif, considéré comme un élément de C, ainsi que sa décomposition selon les sous-espaces propres. Nous calculons l'auto-intersection de la composante propre correspondante à la pointe à l'infini en utilisant des résultats d'Ulf Kühn. L'action des opérateurs de Hecke sur les fibres spéciales de XN définit une dynamique qui preserve les points supersinguliers. Nous nous intéressons à étudier cette action sur les points supersinguliers des fibres de bonne réduction et nous calculons, à l'aide des résultats de Deuring et Eichler, la fréquence asymptotique avec laquelle un point supersingulier donné visite un autre point du même type.

The theme of this thesis is the action of the Hecke operators as correspondances on the modular curves X_0(N). On one hand, we study the relation between the Hecke algebra and Arakelov theory; on the other hand, we make an attemp to study the dynamics of the action of the Hecke operators on the set of supersingular elliptic curves. We consider the modular curve endowed with the Poincaré metric (hyperbolic metric). This metric is singular at the elliptic points and at the cusps. We suppose N squarefree. Let XN be the model of this curve over the integers given by the modular interpretation obtained by Deligne and Rapoport. We define a generalized arithmetic Chow group such that its elements are classes of pairs (D,g) where D is a Weil divisor on XN and g an admissible Green's current with respect to the Poincaré metric. We note this group C. J. -B. Bost and U. Kühn have generalized, independently, Arakelov's arithmetic intersection theory in such a way that a real valued bilinear form is defined on C x C in this framework where the metric is singular. We study aswell a version of C with real coefficients and up to numeric equivalence which is denoted C_num. We show that Hecke correspondences act on C and that this action is self-adjoint with respect to the Bost-Kühn bilinear form. This allows to diagonalize the action on C_num and to define its eigenspaces. As an application we study the relative dualizing sheaf, seen as an element in C_num, and its decomposition in eigencomponents. We compute the self-intersection of the eigencomponent associated to the cusp at infinity using a calculation by Ulf Kühn. The action of Hecke operators on the special fibers of XN defines a dynamic, and this dynamic preserves supersingular points. We study this action on the supersingular points inside the fibers of good reduction and we compute, using results by Deuring and Eichler, the asympotic frequence with which a given supersingular point visits another supersingular point.