Realizability games in classical arithmetic

• Auteur / Autrice : Mauricio Guillermo
• Direction : Jean-Louis Krivine
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Logique mathématique

Axiome du choix

Isomorphisme de Curry-Howard

Lambda-calcul

Résumé

La thèse de M. Guillermo se situe, en Informatique théorique, dans le cadre de la « réalisabilité classique », qui est une formalisation de la correspondance preuves - programmes (dite « correspondance de Curry-Howard »). . On associe un programme à chaque démonstration mathématique ; les axiomes sont ceux de l'Analyse (logique classique du second ordre avec axiome du choix dépendant) Le « langage de programmation » est une extension du lambda-calcul au moyen d'environnements représentés par des piles. On ajoute aussi de nouvelles instructions, en général incompatibles avec la bêta-réduction. Après une présentation de la théorie de la réalisabilité, M. Guillermo définit son outil principal : la substitution dynamique. Au lieu de substituer des termes, on substitue des instructions, qui sont susceptibles d'engendrer de nouvelles instructions (les termes substitués doivent avoir un comportement adapté de façon que la substitution se poursuive naturellement sur les nouvelles instructions). M. Guillermo s'intéresse alors au problème de la composition de stratégies pour les jeux associés aux formules démontrables : le programme associé à une preuve implémente une stratégie gagnante dans ce jeu. Plusieurs exemples sont examinés.

The topic of Mr. Guillermo's thesis is, in the domain of theoretical computer science, the theory of "classical realizability", which is a formalization of the proof-program correspondence (also known as "Curry-Howard correspondence"). We associate a program with each mathematical proof in Analysis (classical second order logic with the axiom of dependent choice). The "programming language" is an extension of lambda-calculus by means of environments which are represented by stacks. We also add new instructions, which are generally incompatible with beta-reduction. After a presentation of the theory of realizability, M. Guillermo defines his main tool, which is the dynamic substitution. Instead of substituting terms, we substitute instructions, which may generate new instructions (the substituted terms must behave in such a way that the substitution goes on naturally on new instructions). Then, Mr. Guillermo studies the composition of strategies for the games associated with provable formulas: the program associated with a proof implements a winning strategy in this game. Some examples are examined.